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%

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\begin{document}
%
\def\todec{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,dec} }
\def\tox{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,x} }
\def\dt{{\delta t}}
\def\edtaux{{exp (-{\delta t  \over \taux } ) }}
\def\deta{{\delta \eta } }
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%à ù
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% essai pour subsection a la JAM, cad italique a. titre
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% d'abord, numero = alphabetique
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%%  {\normalfont\normalsize\itshape}}% % the style
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\title{Gains et Lotka--Volterra\date{Mars 2006}}
\maketitle
%
{\it Application de la Boreleig de \Minik à l'étude d'un modèle avec transition
statique--dynamique.}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction au modèle prédateur--proie}
On étudie le modèle aux variables réduites
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t x  = ax-a\varphi \\
\partial_t y =  -cy+c\varphi \\
\varphi = xy 
\end{array}
\right .
\label{L-V}
\end{equation}
%
où $x$ représente la population servant de viande à $y$\footnote{Toute ressemblance
avec des acteurs de la vie politique française ne peut être que fortuite,
 ndlr~(Al1, insecte de l'unsecte).}.
En l'absence de prédateur, la proie prolifère indéfiniment, alors que le
prédateur sans viande dépérit (et peut être amené à se couvrir de ridicule).
Une rencontre se traduit par une perte pour l'un et un gain pour l'autre.

Ce système possède un seul point d'équilibre non trivial en $(1,1)$. Sinon,
il reste sur une trajectoire périodique en forme d'\oe uf.
Dans le modèle de \Minik, on a introduit un transfert des rencontres
$\varphi = xy$. On étudie le système des gains et réponses associé à ce
transfert en exploitant la technique Boreleig (cf papier Effluents).
On reprend d'abord des résultats anciens ayant permis de vérifier l'intégration
numérique des propagateurs dans \Minik, en parallèle à la résolution analytique
dans le cas de l'équilibre -- où le système est linéaire à coefficients constants.
On passe ensuite a l'analyse du cas non--linéaire.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{L--V au point d'équilibre}
%
Dans ce cas, la matrice d'avance est a coefficients constants :
\begin{equation}
A^{spha}=\begin{bmatrix} 0  & -a \\ c & 0
\end{bmatrix}
\label{aspha}\end{equation}
%
et la décomposition en éléments propres amène au calcul du propagateur d'état :
%
\begin{equation}
\Phi(t)=\frac{1}{2i\omega}\begin{bmatrix} \sqrt{a}  & \sqrt{a} \\ -i\sqrt{c} & i\sqrt{c}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \exp{i\omega t}  & 0 \\ 0 &  \exp{-i\omega t}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} i\sqrt{c}  & -\sqrt{a} \\ i\sqrt{c} & \sqrt{a}
\end{bmatrix}
\label{decomp}\end{equation}
%
avec $\omega=\sqrt{ac}$, qui donne finalement
%
\begin{equation}
\Phi(t,0) = \begin{bmatrix} \cos{\omega t}  & -\frac{a}{\omega}\sin{\omega t} \\
 \frac{c}{\omega}\sin{\omega t} &  \cos{\omega t}
\end{bmatrix}
\label{propageta}\end{equation}
%
L'intégration du SLT dans \Minik est effectuée comme dite dans la texte sur les Propagateurs,
et est bien sûr parfaite, on donne ici un point de vue graphique en portant l'\oe uf
de V--L à différentes C.I. perturbées par rapport à $(1,1)$, comparées à leur propagation
par $\Phi(t,0)$.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/propags.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Trajectoires directes et propagées. Intérieur (1.1,1), extérieur (1,1.1).}
\label{propaf}
\end{figure}
%
On constate que le propagateur permet encore de suivre qualitativement une
perturbation de 10\%.

Dans le cas linéaire, on a intégré le système (92/eff)\footnote{toutes les
références externes concernent le papier Effluents.} donnant la réponse de type
$\displaystyle \frac{g}{1-g}$,
et l'adjointe au transfert avec réponse intégrale, pour obtenir la fig.~\ref{repadj}.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/adjrep.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Réponse et variable adjointe décalées pour visualiser l'écart.}
\label{repadj}
\end{figure}
%
On peut ainsi constater la validité numérique de la correspondance entre réponse
de la variable à un step ($\Psi_t$) et réponse de son intégrale à un pulse
($w_{adj}$)\footnote{la réponse $\Psi_t \leftrightarrow \frac{g}{1-g}$ alors
que $w_{adj}\leftrightarrow\frac{1}{1-g}$.}.

On a aussi déjà montré que l'on a
%
\begin{equation}
\tilde{\sigma}(\mu) = \sum_{i=1} ^{n}\frac{\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{b}{f_i}}{\mu-\lambda_i}\tilde{u}(\mu)
\label{repeffvp}
\end{equation}
%
où $\mu$ est la variable de Laplace, que l'on obtient par développement sur les éléments
propres de la matrice $A^{spha}$. Cette décomposition est exploitée par \Minik dans
la routine {\it Boreleig} qui fournit alors :
%\scriptsize
\begin{verbatim}
gain(tau)=-1.5*tau/(1.-1.5*tau)+7.E-01*tau/(1.-(-7.E-01*tau))

gain(t)=-(1.*(1.-exp(1.5*t))+1.*(1.-exp(-7.E-01*t)))

rep(tau)=tau*(-8.E-1*(1.-0.*tau)-2.1*tau)/((1.-0.*tau)**2+(1.024695*tau)**2)

rep(t)=(2.*cos(1.024695*t)-7.807201E-01*sin(1.024695*t))*exp(0.*t)-2.

\end{verbatim}
%\normalsize
où $\tau$ est la variable de Borel (on a un peu tronqué les printouts verbeux des formules).
La fonction de gain possède ainsi deux pôles simples ($\pm$), alors que la réponse
est oscillante avec sa paire non amortie\footnote{ne pas confondre avec celle de Danton,
que les plus jeunes demandent aux autres.}.
Ce résultat peut surprendre et on peut retenir que le gain semble un composant élémentaire
de la réponse. En effet, la série infinie $g+g^2+g^3+ ...$ constituant in fine la
réponse $\displaystyle\frac{g}{1-g}$,
s'obtient en ré-injectant en boucle ouverte la perturbation du transfert {ad infinitum}.
Cette interprétation sera à revoir dans le cas non-statique.

 Les valeurs numériques sont conformes á la solution
analytique, avec $a=1.5$ et $c=0.7$ qui donnent $\omega = 1.024695$. Par ailleurs, les
formules fournissent la même réponse que les fig.\ref{repadj}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage
\section{Le cas hors d'équilibre}
%
Le système hors d'équilibre (fig.~\ref{oeuf15}) parcourt son \oe uf et les coefficients des matrices
jacobiennes cessent d'être constants (ils sont cependant périodiques).
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/LV152.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Un cycle en 20 points avec propagateur d'état boxed.}
\label{oeuf15}
\end{figure}
%
ON a aussi tracé le nouveau $\Phi(1,1)$, les autres composantes variant de manière semblable.
Sur la courbe avec les boites, on part de $(1.5,1.5)$. On a normalisé $\Phi$ pour représenter
(en $(1.5,1.5)$) les variations de C.I. de $\pm 5\%$ -- ici, donc, en $x$ seulement. La trajectoire
est parcourue dans le sens horaire, et alors chaque boite représente la position du point central
dans la limite de cette perturbation initiale. Chaque boite donne donc la variation de la
trajectoire mais uniquement en ce qui concerne le nombre de lapins quand on a modifié cette population
initialement ($\leftrightarrow \Phi(1,1)$).

Au fil du temps, on constate que $\Phi(1,1)$ croit en oscillant (fig.~\ref{traj15}. Comment
concevoir cette divergence alors que de nouvelles C.I. donnent encore un \oe uf ? Par
le fait que ce cycle ``perturbé'' est parcouru avec une vitesse différente, et
que le propagateur ne donne pas une distance entre deux \oe ufs mais l'écart entre deux points courants,
qui va en effet constamment augmenter. On verra une illustration de ce point en analysant
les Lyapunov du système.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/LV152t.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Trajectoire et propagateur.}
\label{traj15}
\end{figure}
%

Le gain SLT (par {\it Boreleig}) est intéressant : les deux pôles réels restent en $a=1.5$ et $-c=-0.7$,
seules les amplitudes oscillent (fig.~\ref{gainslt15}).
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/LV15g.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Amplitudes sur les deux pôles du gain($\tau$) et gain statique ($\mu=0$ in~(\ref{decomp})).}
\label{gainslt15}
\end{figure}
%
Il est peut-être utile de bien visualiser ce qui se passe :
\begin{verbatim}
 gain(t) = -(+1.500000E+00*(1.-exp(1.5*t)) + 1.500000E+00*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
 gain(t) = -(+1.613501E+00*(1.-exp(1.5*t)) + 8.815604E-01*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
 gain(t) = -(+1.416833E+00*(1.-exp(1.5*t)) + 5.467418E-01*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
 gain(t) = -(+1.135938E+00*(1.-exp(1.5*t)) + 4.262787E-01*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
 gain(t) = -(+8.892381E-01*(1.-exp(1.5*t)) + 4.233493E-01*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
 gain(t) = -(+7.085236E-01*(1.-exp(1.5*t)) + 5.100104E-01*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
 gain(t) = -(+5.977758E-01*(1.-exp(1.5*t)) + 7.005600E-01*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
 gain(t) = -(+5.617340E-01*(1.-exp(1.5*t)) + 1.028866E+00*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
 gain(t) = -(+6.250628E-01*(1.-exp(1.5*t)) + 1.497227E+00*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
 gain(t) = -(+8.497537E-01*(1.-exp(1.5*t)) + 1.925245E+00*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
 gain(t) = -(+1.113561E+00*(1.-exp(1.5*t)) + 1.954280E+00*(1.-exp(-7.0E-01*t)))
\end{verbatim}
%
avec les fonctions du temps qui évoluent, caractérisant le SLT par le gain statique courant
de la fig~\ref{gainslt15bis}.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/gainslt.ps,%
bbllx=65pt,bblly=60pt,bburx=550pt,bbury=758pt,width=11cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Gains SLT le long d'un cycle.}
\label{gainslt15bis}
\end{figure}
%
On constate que le pôle positif l'emporte dès le démarrage et que le gain reste positif.
Comment interpréter ce gain ?
On perturbe le système en jetant des poignées de lapins sur les renards en continu, et on regarde comment
change la rencontre sans que ce changement se répercute. En tout point de la trajectoire cette procédure
mène a disparition des lapins sans compensation non-L. On doit pouvoir dire que le SLT est partout
instable (?).

%\newpage
{\it Gain et réponse non-L}
%-------------------------
%\vspace{0.2cm}

On peut remarquer que le modèle analysé nous fait revisiter les notions de gain et réponse
sur un système non dissipatif, et nous fait sortir de l'approche log-Borel traditionnelle
à l'unsecte. On a choisi ce système dans ce but d'étudier une dynamique ``dynamique'',
dont les caractéristiques sont profondément modifiées le long d'un cycle. Il est clair
que l'approche d'un tel système est mieux ciblée par celle de Floquet, que nous aborderons
plus loin.
Oubliant donc à ce moment l'aspect périodique, on a un système général dont la réponse
de la variable test $\varphi$ à la fonction perturbatrice $u(t)$, appliquée en $t=0$, est
%
\begin{eqnarray}
\sigma(t,0) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{0}^{t} {\Phi (t,\tau)\ket{b(\tau)} u(\tau)}\, d\tau
\label{repg}
\end{eqnarray}\
%
Cette fonction $\sigma$ est ainsi à la fois
la réponse de $\varphi$ à la fonction perturbatrice $u(t)$, et la définition d'une
``sensibilité canonique de rétroaction'' lorsque $u=\Upsilon(t-0^+)$.
Cette sensibilité est particulière par le fait que la variable d'observation est celle
qui est directement perturbée, ce qui correspond à la notion de rétroaction.
La réponse des états est donnée par
%
\begin{eqnarray}
s(t,0) &=& \int_{0}^{t} {\Phi (t,\tau)\ket{b(\tau)} u(\tau)}\, d\tau
\label{repeta}
\end{eqnarray}\
%
On obtient ces fonctions par intégration le long de la trajectoire fiduciaire en dérivant
les équations précédentes par rapport au temps. On obtient ainsi, soit :
%
\begin{eqnarray}
\partial_t s(t) &=& A s(t)  + \ket{b} \sigma(t);\qquad s(0)=0;\nonumber\\
\sigma(t)  &=&  \bra{c^{\dagger}} s(t) + u(t)
\label{ptsig}
\end{eqnarray}
%
soit avec un choix différent de $\sigma$ :
%
\begin{eqnarray}
\partial_t s(t) &=& A s(t)  + \ket{b} \sigma(t)+\ket{b}u(t)] ;\qquad s(0)=0;\nonumber\\
\sigma^{\Delta}(t)  &=&  \bra{c^{\dagger}} s(t)
\label{ptsig2}
\end{eqnarray}
%
On peut remarquer que la réponse asymptotique s'obtient en prenant $\mu=0$\footnote{d'après le théorème
central limite $\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty} f(t)=\lim_{\mu=0}\mu\tilde{f}(\mu)$,
avec $u(t)=\Upsilon(t-0^+)\sqsupset\frac{1}{\mu}$.}, et que son
amplitude dépend de TOUS les pôles, y compris les plus rapides.

 Qu'en est-il du gain non-L dans notre L-V ? Merde, on l'a pas encore à disposition. Regardons
donc une réponse SLTC, fig.~\ref{repnl}.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/repnl.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=552pt,bbury=768pt,width=11cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Réponse non-L avec quelques unes SLT en leur point de démarrage.}
\label{repnl}
\end{figure}
%

Sur cette figure, on a la réponse non-L\footnote{de type $\displaystyle\frac{g}{1-g}$,
que je propose d'appeler ``effet en retour''.}, avec quelques réponses-SLT démarrant à leur point (pour
elles initial) de la
trajectoire. On peut s'étonner de la différence au point ($t=6$)
entre la réponse non-L provenant de zéro et la L locale, beaucoup plus calme. Il sera nécessaire
d'explorer en commun le sens de ce genre de résultat que donne L-V, qui ressemble ici à une accumulation
d'énergie potentielle accumulée avant $t=6$, que ne peux déclencher la réponse 6.
 
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/repslt.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Série de réponses-SLT.}
\label{repslt15}
\end{figure}
%
La Figure~\ref{repslt15} montre un spectre plus large de réponses-SLT, qui montre qu'en
effet le système passe par des modes d'instabilités très variés, suivant la crue et décrue du
nombre de proies et prédateurs. On pourra tenter en assemblée l'interprétation de ces caractéristiques
du point de vue des éthologues. On voit la encore que la réponse L donne cet effet d'accumulation
d'instabilité potentielle, nettement plus accusée qu'en non-L.
%\newpage

Et enfin disponible grâce à la diligence du 12 Janvier, on peut admirer une comparaison
entre slt-gains et slt-eff(et-en-retour) le long de l'eff non-L sur la fig.~\ref{lvgeff}.
{\it ceci s'obtient à présent rapidement avec le patch gsrun, smod gsrun}.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/effglv.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=13cm,clip=}}
\caption{SLT-effet-en-retour$(t,t+\tau)$.}
\label{lvgeff}
\end{figure}
%

Il est à noter que l'eff sltc (non-L) n'est comparable qu'aux deux autres en zéro. Il apparaît
alors très nettement que les deux eff collent beaucoup mieux plus longtemps que le gain, histoire
de justifier le schéma d'intégration temporelle du TEF. En effet, ce schéma peut être vu en tant
que propageant une perturbation $g(\eta(t),\varphi(t))$ appliquée aux états. Mais vu d'un transfert
comme celui de la figure, le moteur de propagation des perturbations est le même.
\newpage
\begin{center}
{\bf Comparaison fonctions-SLT et SLTC\\ vers une caractérisation de l'aspect non-L de stabilité ?}
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
\end{center}
\vspace{0.5cm}

Remontrons quelques réponses-SLT le long du transfert ``rencontres'', fig.~\ref{renc}.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/rencontres.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Série de réponses-SLT avec le transfert.}
\label{renc}
\end{figure}
%

On montre aussi une comparaison des réponses non-L (SLTC) avec les réponses Borel (linéarisées ou SLT)
en quelques points choisis du cycle (fig.~\ref{repnlt}).
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/repnlt.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Série de réponses non-L (SLTC) en fonction du démarrage de la perturbation.}
\label{repnlt}
\end{figure}
%
On a ainsi la variation de la réponse non-L en fonction du point initial du cycle, et par
ailleurs la variation de la réponse L.
Peut-on dire au vu de ces figures que l'on illustre clairement les points où s'expriment
la non linéarité, certainement, mais étais-ce bien utile ? La non-L (concentrée ici dans
le seul transfert) serait-elle plus finement signalée par une différence
entre les deux types de réponse ?
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/diffrep.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Différence entre réponse L et non-L.}
\label{diffrep0}
\end{figure}
%
On doit avoir le droit de dire que l'écart relatif fournit un critère adéquat de non-linéarité
de la réponse, comme dans la fig.~\ref{diffrep0} au point initial $(1.5,1.5)$. Alors, à 20\%
près, on en déduirait que les pôles décrivent correctement au premier ordre le système perturbé
sur une petite moitié du cycle (la période est de l'ordre de $6.4$) ?

\bigskip
{\it N'est-ce pas, en dépit de son apparente insignifiance, une contribution majeure à la
compréhension des systèmes non-L ?\footnote{mais qui peut me dire pourquoi j'ai
l'impression de ramer dans la semoule ?}}

\newpage
{\bf Exposants de Lyapunov et réponse-eff non-L}
%-------------------------------------------
\vspace{0.2cm}

Juste pour l'instant pour satisfaire les curieux, les deux Lyapunov à l'horizon
asymptotique, fig~\ref{lyapunov}, laissent deviner que le positif converge à zéro.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/lyapunov.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Les deux Lyapunov du système par SVD et $\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\log(w)$.}
\label{lyapunov}
\end{figure}
%

A voir la fig.~\ref{linlyapu}, il semble bien que la croissance asymptotique devienne linéaire.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/linlyapu.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Le Lyapunov positif algébrique du système par $\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{w}{t}$.}
\label{linlyapu}
\end{figure}
%
\newpage
Cette tendance linéaire semble être en effet celle de l'enveloppe de la réponse non-L, fig.\ref{sigma}.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=PS/sigma.ps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=12cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Réponse non-L de type  $\displaystyle\frac{1}{1-g}$ chromatographiée.}
\label{sigma}
\end{figure}
%
On a tracé des parties partielles ({\it every}) qui mettent en évidence des sortes de trajectoires
surfant sur des secteurs du cycle.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Application au modèle de Lorenz}
%
Pour rafraîchir les esprits, le fameux ``effet papillon'', qui prouve que la poésie,
l'art et la science sont l'avenir de l'Homme ...
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/Lorenz.eps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=13cm,clip=}}
\caption{L'attracteur de Lorenz.}
\label{papillon}
\end{figure}
%

Le système est ici donné avec une seule variable de transfert $\varphi=xy$, en conformité
avec la présentation dans la {\it Physical~Review~Letters}. Cette variable-test correspond
à l'interaction mouvement~$\times$~température - sous les premiers modes de la fonction courant
de Lagrange et d'une différence de température entre particules ascendantes et subsidentes
de l'écoulement~:
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t x = s  (y - x)\\
\partial_t y = (r  x - y - xz)\\
\partial_t z\ = -b z + xy
\end{array}
\right .
\qquad
\stackrel{Feedback}{\longrightarrow}
\quad
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t x = s  (y - x)\\
\partial_t y = (r  x - y - xz)\\
\partial_t z\ = -b z + \varphi \\
\varphi = xy
\end{array}
\right .
\label{Lorenz}
\end{equation}
%
L'effet-en-retour non-L du système sur $\varphi$ est calculé dans \Minik avec l'extension
{\bf Psi$\_$t, ko$\_$pert$\_$Type$=3$}, et dépend bien sûr du point de démarrage.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/retrorep.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=13cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Gain non-L$(0,\tau)$.}
\label{lzgnl}
\end{figure}
%

On voit clairement en coordonnées-$\log$ la croissance en moyenne le long du premier exposant
de Lyapunov~($\lambda_L\simeq 0.95$), et le lacet d'amplitude accrue précédent chaque transition.

Le SLT-gain est définit comme la fonction dynamique de gain du système stationnaire au point circulant
de la trajectoire de base, démarrant à l'instant de son calcul le long de la trajectoire non-L
du transfert correspondant.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/lorgstat.eps,%
bbllx=55pt,bblly=55pt,bburx=555pt,bbury=775pt,width=13cm,angle=-90,clip=}}
\caption{SLT-gain.$(t,t+\tau)$}
\label{lzgstat}
\end{figure}
%
On a ainsi
la réponse de ce transfert à une perturbation step appliquée au reste du système
en boucle ouverte. Cette fonction a été calculée à partir des éléments propres du système et
inversé en suivant la méthode décrite dans le papier {\it Effluents}. 

On remarque que le gain comporte toujours des pôles réels, avec trois comportements caractéristiques
%
\begin{itemize}
\item négatif avec asymptote finie aux points 2, 6, 10;
\item négatifs explosifs aux points 12, 14, 16 puis 20;
\item ce dernier rompant avec une séquence positive explosive en 18 et 19;
\end{itemize}
%
nous verrons que la séquence brève positive est caractéristique d'une fin de transition entre les deux
ailes de l'attracteur.
\newpage
{\bf Même chose mais avec l'effet-en-retour stationnaire.}

%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltrep.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=13cm,clip=}}
\caption{SLT-effet-en-retour$(t,t+\tau)$.}
\label{lzrstat}
\end{figure}
%
On peut remarquer que les SLT-gains ne comportent pas de mode oscillant, alors qu'ils
apparaissent dans l'effet-en-retour. Cela signifie que le transfert choisi produit les
oscillations, qui disparaissent en boucle ouverte.

On va regarder plus en détail ce qui se passe dans une orbite d'une part~(point A), et à l'approche, ici,
d'une double transition~(point B) sur une trajectoire~(fig~\ref{traj}).
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/xyab.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=12cm,height=6.5cm,clip=}}
\caption{Portion de trajectoire d'étude choisie.}
\label{traj}
\end{figure}
%

Sur la figure~\ref{lztrajpa}, on démarre au point A et on examine une séquence de sept SLT-effet-en-retour
à un step d'amplitude 10~(SLT-eff).
La première réponse est oscillante peu amortie, puis en 2, de grande amplitude et de grande période;
la période revient à sa valeur la plus fréquente en3, puis retour à amortissement pour les systèmes
suivants.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/lorenza.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{Orbite et CTLS.}
\label{lztrajpa}
\end{figure}
%

Regardons à présent la trajectoire complète des pôles
pour voir si la séquence est la même à chaque orbe~(fig.~\ref{lzpa}). On montre les amplitudes
complexes de l'effet-en-retour, correspondant à un pôle réel et une paire conjuguée pouvant
dégénérer.
%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/lortrajpacol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{Le CTLS et la population des pôles.}
\label{lzpa}
\end{figure}
%
Là au moins, on voit bien ce qui se passe ! Chaque orbe amorce une crise instable qui démarre
par un triplet de pôles réels dont un instable, et se poursuit par une oscillation divergente
qui finit par s'amortir. Cette séquence se produit avec une croissance du temps de
passage par le triplet réel, et correspond à l'accroissement de la partie oscillante
de la réponse SLTC.

%
\begin{figure}[ht!]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/lorenz_traj_polesB.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{SLT-effet-en-retour$(t,t+\tau)$.}
\label{lzpb}
\end{figure}
%
La figure~\ref{lzpb} montre la même population des pôles de l'effet-en-retour à l'approche
de la transition~(point B). On voit comment le régime oscillant fait place à trois
exponentielles dont une instable, puis pendant la transition, on constate
que le régime oscillant permet au système de se récupérer pour continuer à orbiter, mais sur
l'aile opposée de l'attracteur.

\newpage
\newpage
%...............................................................
\subsection{Autre portion de la trajectoire}
La figure~\ref{lor1} montre un partie de la trajectoire située sur l'aile gauche de l'attracteur,
qui va orbiter quatre fois avant une transition.
Du fait de la symétrie du modèle par rapport à l'axe $z$, le transfert $\varphi=xy$ ne montre
guère clairement la transition, alors qu'elle est très nette sur la fonction
SLTC de l'effet-en-retour.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/xyrepcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=409pt,bbury=301pt,width=15cm,height=6.5cm,clip=}}
\caption{Test variable trajectory in the Lorenz model and Feedback Response (see text).}
\label{lor1}
\end{figure}
%
Cette fonction est marquée par un effet de lacet négatif-positif à chaque orbite, d'amplitude
régulièrement croissante, en suivant d'ailleurs la croissance exponentielle du Lyapunov.
Un système stable montrerait au contraire une décroissance asymptotiquement exponentielle.

La fig.~\ref{loa2} montre la tendance à long terme de la réponse mettant en évidence ce
comportement chaotique, puisque on l'a tracée en log. Pour voir le lien avec les transitions,
la trajectoire de la variable $x$ est donnée, tournée le long du Lyapunov pour faciliter
la lecture des collocations~($x\rightarrow x+\lambda_L t$).
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/ctlscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=15cm,height=6.5cm,clip=}}
\caption{Long term feedback response~(log scale) and $x$ trajectory rotated along the Lyapunov exponent.}
\label{loa2}
\end{figure}
%
La réponse logarithmique a une croissance moyenne linéaire, suivant la pente du
Lyapunov~($\lambda_L\simeq 0.95$). L'amplitude des lacets croit aussi exponentiellement.

Un intérêt évident de l'analyse du SLTC-eff concerne sa faculté à détecter les transitions.
D'une part, comme on le voit sur le figure~\ref{loa2} l'amplitude du lacet est plus forte
avant une transition, mais plus étonnamment, le signe du lacet s'inverse, avec une première
montée positive~(fig.~\ref{lor1}). Ceci justifie {\it a posteriori} le choix du transfert,
car comme on le verra plus loin, aucun autre transfert ne possède cette intéressante particularité.

\bigskip
{\it trajectoire démarrant loin de l'attracteur.}

%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/bigctlscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=15cm,height=8cm,clip=}}
\caption{Same as fig.~\ref{loa2} with initial conditions out of the attractor basin.}
\label{loabis}
\end{figure}
%
La figure~\ref{loabis} donne la courbe semblable à~\ref{loa2} en partant cette fois de
conditions initiales éloignées du bassin d'attraction.
Il est remarquable que cette même fonction
montre l'attraction du bassin tout entier par une réduction sensible de la croissance
exponentielle. Et ceci chaque fois que le point courant s'éloigne du bassin, comme
aux temps~: $35, 48$ et~$73$. 
On ainsi jeté une lueur d'interprétation sur l'attracteur de Lorenz avec ignorance asumée
des équations du système, avec une mise en évidence
d'un effet attracteur dans le bassin, et d'une bonne détection des transitions. Ceci
montre bien que l'aspect dynamique du gain non-L est essentiel. On peut se demander
alors si la dynamique plus fine de l'attracteur peut aussi bien être interprétée.

\newpage
{\bf ZOOM sur des orbites avant transition}

\vspace{0.2cm}
Examinons à présent quatre orbites précédents une transition. Sur la
fig.~\ref{lor4orb}, on a tracé la trajectoire en $x,y$ avec des barres d'erreurs.
Celles-ci sont en log de l'effet-en-retour SLTC, avec une distinction de signe~:
horizontales pour les amplitudes au-dessous de la croissance moyenne exponentielle du Lyapunov,
verticales au-dessus. Les deux ailes de l'attracteur sont orbitées négativement.

Pour donner une interprétation dynamique de l'attracteur, on peut considérer le transfert $xy$
comme une force s'exerçant sur le point courant. Perturber positivement cette force veut dire
tirer le point courant vers l'apogée.
Lorsque le système répond positivement,
la perturbation accélère vers l'apogée sur les parties de l'orbite s'éloignant
du point central, ou décélère le point retournant vers le point central. On apellera
donc cet effet {\bf fuyant} - le point central.

Une réponse négative montre que $x$ et $y$ répondent avec des signes opposés,
effet que nous appellerons {tournant}, et qui correspond à une attraction orbitale
par un des deux points de convection stationnaire du Rayleigh-Bénard.
Au plus près du centre, l'orbite est purement oscillante, d'où on peut conclure à cet effet
d'attraction par le point central de l'orbite.

Entre les points~2 and~3, on voit clairement la fin de la décélèration de fuite, suivie
de l'acccélération sur le versant opposé de l'orbite~(points 4 à 5).
Cet effet de fuite est suivie d'une forte rotation menant le point courant près du point
central, mais la décélération provoquée par son approche~(6) n'est plus suffisante pour éviter
la transition. L'effet de fuite vers l'apogée de la dernière orbite corrspond à la montée du
lacet de l'effet-en-retour qui mène à une
transition.

Le parcourt de l'aile opposée est l'occasion d'un effet de fuite encore fort,
qui après une orbite montre un fort effet rotatif en fin de la trajectoire, qui se trouve
amorcer une deuxième transition~(hors figure).
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/orberrcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=12cm,height=8cm,clip=}}
\caption{CTLS response before transition (scaled, see text).}
\label{lor4orb}
\end{figure}
%
\medskip

{\it Ainsi, l'étude de la rétroaction non-L du modèle de Lorenz sur ce transfert $xy$ accomplit une
véritable maïeutique interprétative aussi bien vis à vis de l'attracteur tout entier que plus
finement le long des orbites avec leurs transitions}.

\newpage
\subsection{comparaison avec les réponses stationnaires}

\vspace{0.2cm}
On va illustrer les rapports entre les réponses linéaires et non-L sur deux portions
de la trajectoire, en considérant les amplitudes complexes des éléments de l'effet-en-retour SLT~($\varrho(\tau)$).
Ces éléments sont donnés par les doubles produits scalaires
$\scal{c^{\dagger}}{e_i}\scal{b}{f_i}$ de l'équation~(106) du papier {\it effluents},
ou de la formule~(10)de la  PRL avec $\tilde{u}(\mu)=\frac{1}{\mu}$.

Pour un triplet donnés de paramètres du modèle, on peut voir l'espace d'état comme peuplé par les pôles
et amplitudes complexes d'une fonction SLT de rétroaction - à la manière dont les bosons de Higgs
et des chénèmes peuplent le vide quantique.
%
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.63\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltcpcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=409pt,bbury=301pt,width=10.5cm,height=5.5cm,clip=}}
\label{lor2}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.32\linewidth}
\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/lorenzabcol.eps,%
bbllx=52pt,bblly=52pt,bburx=392pt,bbury=264pt,width=5.5cm,height=5cm,clip=}
\label{lorab}
\end{minipage}\hfill
\caption{Feedback response and SLT structure amplitudes.}
\end{figure}
%
La réponse non-L se construit en passant
à travers ces TLS aux caractéristiques très changeantes. Le rapport entre ces éléments
de la rétroaction TLS et de l'effet non-L est peu facile à intuiter, par le fait que
le propagateur non-L se construit par multiplication des propagateurs stationnaires,
d'où l'intérêt de la comparaison détaillée.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/ptascaledcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=10cm,height=5.5cm,clip=}}
\caption{Different Feedback responses along the same orbit.}
\label{lor3}
\end{figure}
%
La première révolution montre une amplitude complexe ne s'annulant pas, qui construit
l'effet rotatif du SLTC-eff. Elle montre ensuite des séquences nulles
d'une amplitude réelle de plus en plus grande.
Cette séquence des trois pôles réels
se construit en s'allongeant jusqu'à la phase de transition. On constate après transition une 
réduction de cette durée des trois pôles, mais peu marquée ici. Cela indique en réalité qu'une transition
future est proche. Ainsi, l'effet de fuite se construit à partir des séquences de trois pôles réels.

Dans l'espace réel, et donc après inversion, on peut tracer ces réponses stationnaires
le long de la trajectoire.
Sur la figure~\ref{lor1}, l'effet SLTC est tracé une seule fois avec
une normalisation régularisant sa croissance exponentielle ($\times\exp(-\lambda_L t)$).
Chaque réponse SLT est tracée au point de son départ sur la trajectoire de $\varrho(t)$
en fonction de son délai de réponse au step stationnaire, avec application de la même
normalisation en $\tau$.

On a sept SLT sur la figure~\ref{lor3} le long des deux premières orbites~(point A).
Le premièr SLT-eff est une oscillation instable avec
une période comparable à la durée d'un lacet du SLTC. Les deuxième et troisième SLT-eff marquent
une séquence d'oscillations amorties, de période lentement croissante.
Au point~4, la période du SLT atteind environ quatre fois la plus courte, se terminant par la partie
plate du SLTC-eff. Vers SLT~5, on voit une courte séquence d'oscillations instables précédent
la montée du lacet du SLTC. Avec les SLT~6 et~7, on a un retour à des oscillations
amorties annonçant le plat suivant du SLTC.

Il est remarquable de voir comment l'effet non-L de la rétroaction absorbe les instabilités
linéaires du système, et le peu de rapport direct qu'il entretient avec elles, ce qui justifie
encore l'intérêt de sa détermination.

%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/pointbiscol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=11cm,height=6cm,clip=}}
\caption{Across effect of TLS in approach to transition.}
\label{lor4}
\end{figure}
%
Allons-enfants au point B. La figure~\ref{lor4} montre quelques SLT-eff sur la dernière
orbite avant transition. Noter que l'on a redémarré le CTLS au point B, et que le lacet
a changé de signe.
%
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.63\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/repulsebcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=10.5cm,height=5cm,clip=}}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.32\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/papbcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=394pt,bbury=264pt,width=5.5cm,height=5cm,clip=}}
\end{minipage}\hfill
\caption{More explicit across-effect towards transition.}
\label{lorbr}
\end{figure}
%
Avec le SLT~1 démarre une série d'oscillations d'un type tout à fait
différent de celles du point~A. La première réponse, qui a été magnifiée par~10 pour bien la voir
tend vers une asymptote négative ($-0.8$), source d'un effet rotatifif de la perturbation.

On voit bien sur la figure~\ref{lorbr} comment s'amorce et s'amplifie cet effet rotatif.
Il devient divergent avec les SLT~2 et~3, au démarrage de la transition.
Puis retour aux oscillations instables (4, 5), et enfin stables à partir de~6.
Le septième SLT est stable, alors que le dernier amorce une instabilité linéaire~(mais normalisée).
En ce point, la transition est terminée.

Comment le système récupère-t-il de la transition ? On le voit sur la figure~\ref{lor5}.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/finbcol.eps,%
bbllx=49pt,bblly=49pt,bburx=410pt,bbury=300pt,width=11cm,height=6cm,clip=}}
\caption{End of transition.}
\label{lor5}
\end{figure}
%
La fin de transition est marquée par le SLT~a de croissance positive, caractéristique des
fins de transitions. Puis on observe deux SLT rotatifs divergents~(b et c). Le TLS répond
ensuite de manière oscillante instable~(d et e), avec période croissante, pour enfin
redevenir oscillant-amorti sur la première orbite opposée de l'attracteur.

\newpage
{\it lien avec les trois pôles}

\vspace{0.2cm}
Comme le montre la figure~\ref{loafin}, ces séquences de trois pôles réels correspondent
à des divergences rotatives terminant une séquence d'oscillations divergentes.
Faut donc conclure à une attraction orbitale de croissance linéaire s'intensifiant à chaque
orbe jusqu'à échappement et transition.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/threepolescol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=15cm,height=6cm,clip=}}
\caption{After transition.}
\label{loafin}
\end{figure}
%

\newpage
{\bf Synthèse SLTC versus effet-en-retour SLT}

\vspace{0.2cm}
Sur la figure~\ref{loasyn}, on compare systématiquement tous les SLT au long des quatre orbes.
Le scatter plot montre les effets-en-retour stationnaires à l'endroit de la trajectoire
où est appliquée la perturbation-marche du gain. L'axe vertical est le délai de leur réponse.
La normalisation en amplitude pat $\tanh$ est telle que l'échelle reste linéaire entre
$-1$ et $+1$, avec $\pm2$ représentant l'infini. De cette manière, on arrive à suivre les SLT
oscillants dans le détail, malgré leur forte variabilité en amplitude.

Les révolutions sont toujours de même type~: lorsque l'on va vers l'apogée qui s'excentre d'orbe
en orbe, on a des oscillations exponentiellement croissantes dont la période diminue jusqu'à
devenir comparable à celle d'un lacet du SLTC. Ces oscillations deviennent stables et leur
période ré-augmente en allant vers le périgée, préparant une séquence explosive de fuite
par les trois pôles.
%
\begin{figure}[ht]
\hspace{-0.9cm}{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/ctls4orbcol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=16.cm,height=4.5cm,clip=}}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/slt4orbblue.eps,%
bbllx=5pt,bblly=5pt,bburx=565pt,bbury=530pt,width=18.cm,height=12cm,clip=}}
\caption{SLTC-eff et SLT-eff le long des quatre orbites et transition.}
\label{loasyn}
\end{figure}
%

Au cours des quatre révolutions, on observe la séquence ``des trois pôles réels'' qui est
ici la bande verticale bleue~: c'est l'effet répulsif du point central qui s'amplifie jusqu'à la transition.
La bande blanche verticale vers $t=3.4$ est la séquence exponentielle instable caractéristique
de chaque transition. Sur la nouvelle orbite, la séquence des trois pôles est réduite mais
existante, et correspond en fait à une transition après deux révolutions seulement~(hors figure).

\medskip
{\it Synthèse SLTC versus gain SLT}

\vspace{0.2cm}
La figure~\ref{loagsyn} donne la même synthèse, mais cette fois en fonction du gain stationnaire.
La normalisation est de nouveau en $\tanh$, mais on a linéarité entre $-5$ et $5$, log au delà,
infini en $\pm 10$. La première remarque est l'absence d'oscillation~: si on exclue la réponse de
$\varphi$ du système perturbé, on coupe un retour qui provoque ces oscillations.
%
\begin{figure}[ht]
\hspace{-0.9cm}{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/ctls4orbcol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=16.cm,height=4.5cm,clip=}}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltgain4col.eps,%
bbllx=5pt,bblly=5pt,bburx=565pt,bbury=530pt,width=18.cm,height=12cm,clip=}}
\caption{SLTC-eff et gain-SLT le long des quatre orbites et transition.}
\label{loagsyn}
\end{figure}
%
Le seul gain positif correspond à $t\simeq3.4$, de fin de transition, de durée très limitée.
On voit bien comment chaque
montée vers un apogée est provoquée par un gain très répulsif dont la durée croît le long
des quatre orbes, alors que le retour d'apogèe s'accompagne d'une diminution du gain.
Les parties modérées négatives du gain sont responsables des oscillations de la réponse
par bouclage sur le système~:$\displaystyle\frac{g}{1-g}= g+ g^2 + g^3 +...$.

\medskip
{\it Comparaison des effets-SLTC pour quatre variables}

La figure~\ref{compar} donne les effets non-L pour la variable test recopiant $x$ et $y$, et
un transfert $xz$ sur les deux orbes et la transition, normalisées comme d'hab.
Les recopies sont agrandies d'un facteur~10. On peut noter une amplification du lacet
pour les quatre fonctions, mais
seules la variable-test $xy$ montre ce changement de signe caractérisant
l'approche d'une transition.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/comparctlscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=15cm,height=6.5cm,clip=}}
\caption{Comparaison entre rétroaction du système sur quatre transferts différents.}
\label{compar}
\end{figure}
%
De ce point de vue, on peut constater que le choix de $xy$ est le meilleur, et que le type
d'information demandé au système dépend évidemment, y compris sur un modèle de 
dimension réduite à trois, de la boucle de rétroaction choisie.

\bigskip
{\it Essai d'analyse physique des rétroactions}

Examinons d'abord le transfert $xy$. Soit une perturbation de cette interaction entre vitesse
de circulation (un mode de la fonction courant de Lagrange) et l'écart de température
entre particules montant et descendant. Positive, la perturbation intensifie par exemple
cette interaction. Cela a pour effet d'augmenter $z$, \cad l'anomalie des temperatures haute et
basse de fluide, puisque l'intensification du mouvement éloigne de la température moyenne
du Rayleigh-Bénard qui est la droite joignant les deux températures de surface. Les flux de chaleur
pariétaux vont donc augmenter et combattre l'écart horizontal $y$ de T. $y$ diminue donc
pour $x$ négatif (aile gauche de l'attracteur déjà considérée). Cet écart horizontal est le moteur
thermique de la vorticité (d'axe horizontal) du mouvement, qui va donc décroitre. Ainsi, le
produit $xy$ diminue, d'où la stabilité linéaire à court terme observée.

\newpage
{\bf Synthèse générale sur Lorenz}

Il semble légitime, après cette analyse, de construire une vision du comportement du système
basée sur trois distances~:
%
\begin{itemize}
\item vu de loin, le bassin d'attraction joue en effet ce rôle d'attraction, qui s'observe par
une diminution du Lyapunov local;
\item vu de plus près en considérant les deux orbes de l'attracteur, on observe un changement de signe
du lacet CTLS précédent une transition. C'est donc un effet répulsif par le point central qui
provoque la transition amorcée par une accélération orbitale à l'apogée précédente;
\item vu encore de plus près, chaque orbite est accompagnée d'un effet répulsif qui éloigne le point
circulant du point central, suivie d'une attraction-orbitale (par le point de convection
stable\footnote{Attention encore á cette apellation ``d'attractive''qui n'est que
relative à la divergence exponentielle~: un point de convection stable est lui aussi instable,
mais répond de manière orbitale, voir plus loin.}) vers l'apogée. Lors que ce double effet s'ecerce assez lontemps,
l'effet de répulsion par le centre dévie le point courant de son orbite
et provoque une transition vers l'orbe opposée. 
\end{itemize}
%
Dans la mesure ou ce système est chaotique, il n'est pas étonnant de retrouver une croissance
exponentielle dans la réponse à une perturbation. Il est remarquable qu'alors que l'on s'attend
à un comportement dépendant du démarrage de la perturbation-step, ce n'est pas ici le cas,
à part l'amplification exponentielle - et quand mème un changement de signe possible du
lacet~(à revoir donc).

Mais cette étude illustre bien notre propos, à savoir l'intérêt de l'aspect dynamique du gain
de rétroaction. Cette illustration avec Lorenz n'avait pas d'autre objectif.
De plus, devant la variabilité des gains linéaires le long de la trajectoire,
ce gain non-L s'avère plus simple à interpréter, mais au prix, dans ce système chaotique,
d'une normalisation avec le premier Lyapunov qui amène à un traitement pouvant déboucher
sur une nouvelle méthode.

En effet, on a été conduit à raisonner en multipliant les fonctions d'effet
par $exp(-\Lambda_L t)$, ce qui fait penser à l'approche de Floquet~(cf papier {\it Effluents})
où alors $\Lambda$ est imaginaire. Il y a matière à formalisation pour introduire dans l'analyse
de stabilité - ici en réalité d'instabilité relative - ce que nous avons introduit {\it a posteriori}.
Celà devrait permettre d'enrichir l'analyse de Lyapunov, et ce n'est pas une mince affaire.
\newpage
\subsection{Analyse numérique en boucle ouverte}\footnote{partie effectuée avec stepH.}
% ------------------------------------------------------------------------------------
En boucle ouverte, \cad en bloquant le modèle de $\varphi$ à une valeur choisie, le système
se linéarise rapidement. En effet, la variable $z$ tend exponentiellement vers
$\displaystyle\frac{\varphi}{b}$,
et avec $z=c^{cste}$, le reste du système est à présent linéaire. Comme l'explique Edward Lorenz
dans son papier, il y a un seuil de transition que l'on va retrouver numériquement.

En partant d'un point des orbites déjà étudiées et avec une valeur modérée de $\varphi=100$, la
trajectoire~(fig.~\ref{phi100}) converge au point central en passant par l'aile droite de l'attracteur.
%
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/phi100.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=8cm,clip=}}
\caption{Lorenz avec blocage de $\varphi$, ici à la valeur 100.}
\label{phi100}
\end{minipage}\hfill
%
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/phi400.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=8cm,clip=}}
\caption{Lorenz avec blocage de $\varphi$, ici à la valeur 400.}
\label{phi400}
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/phi40.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{Lorenz avec blocage de $\varphi$, ici à la valeur 40.}
\label{phi40}
\end{figure}
%

Avec une valeur plus grande, de $400$, l'effet rotatif du départ est accéléré et le point orbite
autour de l'aile droite avant de converger.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltc2717col.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{SLTC~:2,7,17 avec blocage de $\varphi$, ici à la valeur 400.}
\label{phi400b}
\end{figure}
%
Pour une valeur plus faible de $\varphi=40$, la figure~\ref{phi40}, on constate une fuite
exponentielle le long de la droite de pente environ 2.
On trouve l'existence d'un autre seuil cette fois-ci entre fuite et rotation. Ce seuil
explique que la partie des quatre orbites proche du périgée soit bleue - et qu'on
l'ait qualifiée de répulsion par le point central.

En repartant de la valeur 400 qui fait orbiter le point courant à droite avant de converger au point
central, on regarde les effets-en-retour non-L des transferts de recopie de $x$ et $y$, et celui
correspondant à $xz$. Le figure~\ref{phi400b} montre bien les oscillations
amorties dans les trois cas dès que $xy$ est bloqué.
%
\newpage
\subsection{Analyse du SLTC aux points fixes}\footnote{\it idem.}
% ------------------------------------------------------------------------------------

\medskip
{\it Au point gauche de convection stable~(CS)}


L'effet en retour non-L à une perturbation en un point fixe de convection stable
($x=-6\sqrt{2}, y=x, z=27$) est une oscillation divergente, correspondant à l'instabilité
de ce point~(fig.~\ref{cs1}).
%
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltc12cscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=8cm,clip=}}
\caption{SLTC~:12=xy au point gauche de convection stable.}
\label{cs1}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltc27cscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=59pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=8cm,clip=}}
\caption{SLTC~:2=x versus 7=y au point gauche de convection stable.}
\label{cs2}
\end{minipage}\hfill
\end{figure}
%
On peut tracer la trajectoire correspondante des effets SLTC de transferts recopiant $x$ et
$y$, comme sur la figure~\ref{cs2}. On constate clairement l'effet de répulsion orbitale
du point CS. On l'a précédemment qualifié d'attractif orbital, mais c'était en comparaison
de la divergence Lyapunovienne de fond.

La croissance du rayon est donnée dans la figure~\ref{cs3}
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/logg27cscol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{SLTC~:x versus y au point de CS, en log rayon.}
\label{cs3}
\end{figure}
%
et on retrouve le Lyapunov de 0.95, notre qualification était donc correcte~: il y a
``stabilisation orbitale'' le long du Lyapunov.

\medskip
{\it Au point central}

Si maintenant on se place au point central, on trouve que l'effet sur $xy$ reste nul, et
que la trajectoire des effets dans le plan $x,y$ fuyent le point central en passant
loin du point de convection stable (point C sur la figure~\ref{pc1}).
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Lorenz/PS/sltc27pccol.eps,%
bbllx=50pt,bblly=59pt,bburx=408pt,bbury=300pt,width=12cm,clip=}}
\caption{SLTC~:x versus y au point central.}
\label{pc1}
\end{figure}
%

\medskip

{\it In fine}, on peut ajouter une remarque en rapport avec les développements méthodologiques
évoqués en syntèse du Lorenz. La croissance le long du premier Lyapunov semble entièrement
due à l'effet répusif mais orbital~(``across'') des points de convection stable, avec des excursions
en-dessous et au-dessus lorsque l'effet strictement répulsif~(``along'') du point central.
C'est en gros ce que l'on attend du formalisme à développer.
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\medskip
%...............................................................
\subsection{en résumé : Trois fonctions caractéristiques d'une feedback loop}
Les deux premieres correspondent au systeme~(\ref{ptsig}) et fournissent la réponse du système
à la perturbation $u(t)$. Pour les perturbations canoniques :
%
\begin{itemize}
\item $u(t)= \delta(\tau)$ l'impulsion de Dirac. Dans ce cas $\tilde{u}=1$, la réponse peut être convoluée
avec toute fonction perturbative et
 $\Delta\varphi(t) = \bra{c^{\dagger}}\int_0 ^t\sigma(t,\tau) u(\tau) d\tau$. Le pulse revient a prendre
comme conditions initiales $s(0)=\ket{b(0)}$.
\item $u(t)=\Upsilon(t-\tau)$ la fonction step de Heaviside. Cette perturbation correspond
à la définition du gain de rétroaction, et alors il y a correspondence entre $\sigma$ et
$\displaystyle \frac{1}{1-g}$ ou $\displaystyle \frac{g}{1-g}$ suivant la variante choisie
du système~(\ref{ptsig}) ou~(\ref{ptsig2}).
\end{itemize}
%
{\it Peut-etre alors une remarque sur l'integration du systeme des sensib en meme temps que
trajectoire -- sans aller jusqu'a la discretisation.}

\medskip
{\it Détermination du gain dynamique}.
Pour trouver le gain dynamique non lineaire, il suffit d'intégrer le systéme~(\ref{ptsig})
en boucle ouverte :
%
\begin{eqnarray}
\partial_t s(t) &=& A s(t)  + \ket{b} \Upsilon(t)(t)       \nonumber\\
\sigma(t)  &=&  \bra{c^{\dagger}} s(t)
\label{psig}
\end{eqnarray}
%
qui dans le cas autonome redonne bien
$\sigma(\mu)=\bra{c^{\dagger}}(\mu I -A)^{-1}\ket{b}=g(\mu)$. La forme réponse et gain sont
reliés par la relation $\forall s,t \in \mathcal{R} : \int_s ^t \sigma(\tau)(1-g(t,\tau)) = 1\,$
(ndlr j'attends vos remarques).

%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{L--V avec nourriture limitante pour la proie}
%
Le système modifié est à présent
%
\begin{eqnarray}
\partial_t x  &=& a(x-ex)-a\varphi \nonumber\\
\partial_t y &=&  -cy+c\varphi \\
\varphi &=& xy                   \nonumber
\label{L-Vmod}
\end{eqnarray}
%
ce qui fait qu'en l'absence de proie, ça lapine jusqu'au moment où la nourriture
commence à manquer (terme logistique).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Gain et stabilité du système}
%
{\it ndlr : Il parait hasardeux de ne pas utiliser une comparaison aux Lyapunov, car le gain renvoie non
seulement a la dynamique que nous mettons en exergue, mais a une analyse d'amplification
de signal, qui ne peut éviter d'induire le lecteur dans la direction de l'analyse de stabilité.
En gros, l'idée est que dans la mesure où on n'est guère capable de rien prédire sur le
comportement asymptotique du gain, on botte en touche par le Lyapunov qui rencontre des
problèmes semblables. Et une ignorance qualifiable de Lyapunovienne semble tout à fait
assumable. {\bf essayer en prenant une moyenne glissante sur $\{s,t\}$ (moyenne de Stockes ?). Ou encore via la
définition d'une fonction de Lyapunov, mais la je vois pas.}}

On suppose que le système a des exposants de Lyapunov stables et intégralement séparables. Alors,
pour $t>s \gg \frac{1}{\lambda_1}$ où $\lambda_1$ est le premier exposant, on peut écrire
%
\begin{eqnarray}
\sigma(t,0) &=& \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{0}^{s} {\Phi (t,\tau)\ket{b(\tau)}}\, d\tau + \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{s}^{t} {\Phi (t,\tau)\ket{b(\tau)}}\, d\tau\nonumber\\
\sigma(t,0) &\approx&\int_{0}^{s}{ \scal{c^{\dagger}}{u_1} \exp(\lambda_1(t-\tau)\scal{v^{\dagger}_1}{b(\tau)}}\, d\tau \nonumber\\
&&+ \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{s}^{t} {\Phi (t,\tau)\ket{b(\tau)}}\, d\tau\nonumber
\label{sigma}
\end{eqnarray}\
%
en posant que la moyenne\footnote{les coefs de $\ket{b}$ sont physiquement bounded, on dit
quoi : physically bounded, or bounded by realisability conditions ?.} de
$\scal{c^{\dagger}}{u_1}\scal{v^{\dagger}_1}{b(\tau)}=\overline{\scal{c^{\dagger}}{b}}^s$
et en appliquant le théoreme de la moyenne (Condorcet, An II, sauf s'il etait deja ecourté)~, on obtient 
%
\begin{eqnarray}
\sigma_g(t,0) &\approx&\frac{1}{\lambda_1}\overline{\scal{c^{\dagger}}{b}_1}^s\exp(\lambda_1 t)[1-\exp(-\lambda_1 s)]\nonumber\\
&&  + \bra{c^{\dagger}(t)}\int_{s}^{t} {\Phi (t,\tau)\ket{b(\tau)}}\, d\tau
\label{sigmareduit}
\end{eqnarray}
%
avec $\ket{v_1}\approx C^{ste}$
(ref : SIAM Journal on Numerical Analysis, Volume 40, Number 2, pp. 516-542
2002 Society for Industrial and Applied Mathematics
Lyapunov Spectral Intervals: Theory and Computation
Luca Dieci, Erik S. Van Vleck ).

ndlr : la on remarque que la forme reduite obtenue est tres semblable a VP Laplace.
(On peut eventuellement faire la somme sur $\lambda_i$ de 1 a $n$). Ou au contraire, on peut
s'etonner de ce parallele, alors que la dynamique complete reside dans les uns, mais seult
le comportement asymptotique dans les autres ?

et donc pour les systemes non chaotiques ($\lambda_1 <0$), il suffit d'integrer $\sigma$ de 0 a quelques
$\displaystyle t= N*\frac{1}{\lambda_1}$ (ou de $s$ a $s+t$).

En tout cas,  $g$ asymptotique depend de t. Je vois pas encore comment
qualifier cette fonction qui devrait - hors bifurcation - etre peu variable, mais si on
trouve rien, on pourra placer ici la botte conjecturale de Goodman\&Marshal.

Si chaotique ($\lambda_1 > 0$) $\sigma$ croît en $\exp(\lambda_1 t)$, sauf si le systeme n'est pas ``détectable
depuis $\varphi$'' ($\ket{b}$ trop creux). Et alors $g$ peu different de 1.

En tout cas, sur un cas concret, on doit pouvoir conclure a la stabilite asymptotique ou pas. Exemple
des GCM avec 2xCO2 ? Mais en restant modestes, parce qeu le testr porte sur une moyenne, et conclusion
conjecturale (sauf si quelqu'un peut avancer la-dessus.)
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Discussion conclusive}
%
\end{document}
%
\end

