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%
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\externaldocument[P-]{../../Propagateurs}

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\begin{document}
%
\def\todec{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,dec} }
\def\tox{{\overline {\overline {\Upsilon  }}}_{,x} }
\def\dt{{\delta t}}
\def\edtaux{{exp (-{\delta t  \over \taux } ) }}
\def\deta{{\delta \eta } }
\def\Deta{{\Delta \eta } }
\def\Detab{{\Delta \bar{\eta }} }
\def\Dt{{\delta t } }
\def\Dth{{\Delta\theta} }
\def\Dthast{{\Delta\theta^\ast} }
\def\Dths{{\Delta\theta_s} }
\def\Dthm{{\Delta\overline{\theta}} }
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\def\dfi{{\delta \varphi } }
\def\Dfi{{\Delta \varphi } }
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\def\dtaf{{\overline {\overline {\partial _\eta f }}} }
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\def\dtA{\partial_t A}
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% essai pour subsection a la JAM, cad italique a. titre
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% d'abord, numero = alphabetique
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% style de la forme subsection
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\title{A ``new'' approach to Climate feedbacks:\\
the Inclusive Feedback Components analysis\date{Al1, Août 2008}}
\maketitle
%                                 
\subsection{Introductions formelles}
%
\paragraph{exclusif {\it versus} inclusif}
Dans l'analyse classique, chaque mécanisme est considéré séparément (cf par ex. Peixoto). Un gain
se détermine de l'annulation des autres, d'où la qualification d'analyse
{\bf exclusive}. On peut citer Hansen {\it et al}~: an effect ''that would exist if all other feedbacks
where inoperative''.

Dans la nouvellle approche, il s'agit de caractériser l'importance d'un mécanisme
dans la réponse globale vis à vis des autres retenus dans l'analyse, d'où
le choix de qualifier cette analyse {\bf d'inclusive}.

Mais cette approche n'est que `nouvelle'' car elle est proposée dès 84 dans Hansen {\it et al}~!
Voir en effet leur introduction du gain (exclusif) par
$g_i=\frac{\DT_i}{\DT_{tot}}$. Cette définition s'avère correcte avec notre
reformulation, mais dans les applications, ils calculent les $\DT_i$ de manière erronnée~:
un $\DT_i$ {\bf n'est pas} la réponse du système quand seul le mécanisme $i$ est opérant
(analyse exclusive), mais quand seul ce mécanisme est inopérant (inclusif), cf annexe A.
On peut comprendre leur analyse erronnée qui prend comme vérité immédiate que l'ajout
d'un nouveau mécanisme ne peut que rajouter un nouveau $\DT_i$ --- l'intuition a du mal
à admettre que c'est faux !

{\it présentation possible :}
On base la présentation sur un modèle global (1D) de type EBM comme intermédiaire commode
pour une présentation allègée mais non triviale.
On cherche a caractériser des rétroactions climatiques en prenant comme dans les
classiques de l'IPCC la variable test $\DT_s$.

%
\begin{enumerate}
\item introduction du SLT, limitation au système à l'équilibre; forme Laplace;\\
      de $\partial_t \eta=f(\eta)$ à $\mu\Deta = A\Deta$;
\item  rappel de la forme classique de boucle unique de rétroaction;
\begin{enumerate}
\item le système perturbé analysé en boucle de rétroaction~: c'est la température de surface qui est
perturbée\footnote{ou modèle avec hypothèses verticales à expliciter.}
et analysée, dans la globalité de la réponse du système --- structuré ou non
en boucles de rétroactions. La boucle se définit par i) le choix de la variable test (ici $\DT_s=\bra{c}\Deta$
avec $\bra{c}$ dernière ligne de la matrice identité $I$.);
ii) on ferme la boucle en rentrant $\DT_s$ perturbée par $\varpi$ dans le système en sélectionnant
un mécanisme dont on analyse l'effet de rétroaction. Le système avec cette structure est alors donné
par~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
\mu\Deta  = A^\flat\Deta &+ \ket{b}\DT_s\nonumber\\
\DT_s = \bra{c} \Deta + \varpi& 
\end{array}
\right.
\label{retrou}\end{equation}
%
Ce système reste mathématiquement équivalent à l'original dès qu'on a l'égalité $A=A^\flat+\ext{b}{c}$;
sa solution en $\DT_s$ est alors~:
%
\begin{equation}
\DT_s = \displaystyle\frac{1}{1-\bra{c}(\mu I-A^\flat)^{-1}\ket{b}}\varpi
\label{retrou2}\end{equation}
%
c'est la forme ''facteur de rétroaction'' $f=\frac{1}{1-g}$;
\item Il est utile de faire apparaître l'effet--en--retour qui s'additionne à la perturbation
pour former la variation totale $\DT_s$~:
%
\begin{equation}
\DT_s = \varpi + \rho(\mu)\varpi\;\text{, avec}\quad
\rho(\mu)= \frac{\bra{c}(\mu I-A^\flat)^{-1}\ket{b}}{1-\bra{c}(\mu-A^\flat)^{-1}\ket{b}}
\end{equation}
%
de la forme $\rho=\frac{g}{1-g}$;
\item On définit alors en cohérence le système donnant cette composante $\Dth_s=\rho(\mu)\varpi$~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
\mu\Deta  = A^\flat\Deta &+ \ket{b}(\Dth+\varpi)\nonumber\\
\Dth = \bra{c} \Deta& 
\end{array}
\right.
\label{retro}\end{equation}
qui mène à 
%
\begin{equation}
\Dth = \displaystyle\frac{\bra{c}(\mu I-A^\flat)^{-1}\ket{b}}{1-\bra{c}(\mu I-A^\flat)^{-1}\ket{b}}\varpi
\label{retro2}\end{equation}
%
et à $\DT_s = \varpi+\Dth$; on appelle $\Dth$ la composante de rétroaction associée au mécanisme
identifié à $\ket{b}$.
\end{enumerate}
\item ensuite, l'analyse multiple;
\begin{enumerate}
%
\item  on décompose la partie sensible $\ket{b}$ extraite de
$A$ à fin d'analyse plus détaillée, \cad $\ket{b}=\displaystyle\sum_{j=1,p}\ket{b_j}$. On suppose alors que l'analyse
physique conduit à être en mesure de {\bf séparer} des mécanismes responsables de rétroactions du système
dans sa réponse à la perturbation $\varpi$ de la température de surface $T_s$\footnote{on précisera cette
procédure en introduisant les transferts {\it à la Liu\&Cai}.}.
\item attribution~: on est ainsi conduit à identifier chaque contribution à $\DT_s$
comme suit
%
\begin{equation}
\Dth_i = \displaystyle\frac{\bra{c}(\mu I-A^\flat)^{-1}\ket{b_i}}{1-\bra{c}(\mu I-A^\flat)^{-1}\ket{b}}\varpi\\
\label{retro3}\end{equation}
%
Au numérateur apparaît $g_i$ le gain de rétroaction attribué au mécanisme $i$, et au dénominateur
la somme de tous les gains analysés, soit~
%
\begin{equation}
\Dth_i = \displaystyle\frac{g_i}{1-\sum_j g_j}\varpi\\
\label{retro4}\end{equation}
%
Cette forme fonction des gains exclusifs est peu propice à l'analyse, car la suppression d'une
rétroaction ($g_i=0$) modifie le dénominateur et ainsi toutes les autres contributions;
\item forme réponse~: on montre en annexe que~(\ref{retro3}) s'écrit aussi\\
$\Dth_i =\bra{c}(\mu I-A)^{-1}\ket{b_i}\varpi$, si bien que~:
%
\begin{equation}
\DT_s =\varpi+\sum_j\Dth_j=\varpi+\sum_j \bra{c}(\mu I-A)^{-1}\ket{b_j}\varpi
\label{retro5}\end{equation}
en fonction cette fois de la matrice $A$ globale du système. Une nouvelle application
de l'identité~(A1) fournit encore
%
\begin{equation}
\begin{array}{ccc}
\Dth_i &=&\bra{c}(\mu I-A)^{-1}\ket{b_i}\varpi\\
       &=&\displaystyle\frac{\bra{c}(\mu I-A^i)^{-1}\ket{b_i}}{1-\bra{c}(\mu I-A^i)^{-1}\ket{b_i}}\varpi
\end{array}
\label{retro6}\end{equation}
%
dans laquelle on a noté $A^i=A-\ext{b_i}{c}$, qui est la matrice réduite dans le cas où seul
le mécanisme $i$ est analysé dans une boucle unique de rétroaction;
%-d)
\item interprètation~: chaque terme de la somme de droite
est la réponse du système structuré par une seule  boucle
de rétroaction par $\ket{b_i}$ avec $\rho_i(\mu)=\bra{c}(\mu I-A)^{-1}\ket{b_i}$, les autres mécanismes
étant ré--intégrés dans le système. On note $g^\ast_i=\bra{c}(\mu I-A^i)^{-1}\ket{b_i}$ ce gain
dît {\it inclusif}.

De cette manière, chaque analyse est effectuée par la réponse du système à la perturbation
via un seul mécanisme~: chaque nouvelle contribution apporte un nouvel
accroissement à la résultante $\DT_s$; on récolte alors à chaque nouvelle analyse
une nouvelle composante de $\DT_s$ liée au mécanisme abordé. Il suffit que les
matrices--colonne $\ket{b_i}$ restent indépendantes et que $A=A^\flat+\sum_j\ext{b_j}{c}$.
\end{enumerate}
On a en définitive $\DT_s = \varpi +\sum_j\Dth_j$, décomposée en ses {\it Composantes
Inclusives de Rétroaction} $\Dth_j,\;j=1,p$.
\end{enumerate}
%
Ainsi, nous avons montré la pertinence de l'analyse de DuB\footnote{Dufresne Bony Journal of Climate, 2008.},
qui examine le système à l'équilibre
asymptotique --- $\mu=0$, mais du même coup sa généralisation au système perturbé retournant
à l'équilibre dans la limite où le SLT reste valide (faibles perturbations).

On peut noter que
% la perturbation dans DuB est appliquée via forçage radiatif; celui-ci étant
%instantanément converti en perturbation des températures permet d'affirmer qu'alors $\varpi=\lambda F_0$,
%sans dépendance temporelle. On peut encore noter que
 cette décomposition  reste valable aussi
bien pour des perturbations pulse ($\varpi(\mu)=1$, step ($\varpi(\mu)=\mu$) ainsi que toute
fonction du temps.

Dans le cas de fonctions complexes du temps, l'inversion de~(\ref{retro5}) par exemple pourra
fournir des CIR à la dynamique très diverse, donnant accés à des temps caractéristiques
de rétroaction riches d'enseignement, cf jas-Hallegatte et al. Ces dynamiques résultent
de la sélection (par les $\ket{b_i}$) d'un noyau dynamique commun (donné par $(\mu I-A)^{-1}$ et $\varpi(\mu)$).

Nous allons montrer que cette analyse se généralise aux systèmes hors d'équilibre, en appliquant
la formulation introduite dans EPL Lahellec et al.
%
\paragraph{L'analyse dynamique des rétroactions en composantes inclusives} En reprenant
la formulation générale de départ, la réponse linéaire à un système perturbé est donnée
par le propagateur associé au SLTC~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
\Dth_i(t) =\bra{c}\int_0^t\Phi(t,\tau)\ket{b_i(\tau)}\varpi(\tau)d\tau\nonumber\\
\intertext{à la condition que :}
       d_t\Phi(t,\tau)=A(t)\Phi(t,\tau),\; t\ge \tau\textit{ et }\quad\Phi(\tau,\tau)=I\;.\nonumber
\end{split}
\label{retro7}\end{equation}
%
Nous avons supposé que le système était spatialement discrétisé, si bien que la matrice $\Phi$
représente le propagateur associé au SLTC du système le long de sa trajectoire~(ref
texbook comme Luenberger). Cette approche classique de la réponse d'un système perturbé
généralise ainsi la décomposition précédente, les matrices du systèmes étant à présent dépendantes
du temps le long de la trajectoire de référence. Les CIR sont à présent déterminées
en fonction du temps dans la limite de validité du SLTC, avec une dynamique commune
liée à celle du propagateur, mais de plus sélectionnée et augmentée de celles des $\ket{b_i(t)}$.
Notons qu'on a perdu la relation aux gains de rétroaction, ceux--ci étant déterminés par
un système aux EDP différent~(cf EPL). Dans le cas classique où la perturbation est de type
Heaviside --- $\varpi(t)=1$ dans (\ref{retro7}) --- on définit l'effet--en--retour dù à chaque
rétroaction par
%
\begin{equation}
\rho_i(t) =\bra{c}\int_0^t\Phi(t,\tau)\ket{b_i(\tau)}d\tau
\label{retro8}\end{equation}
%

La question se pause alors de l'intérêt de cette généralité d'application de l'analyse par CIR
à l'intercomparaison de modèles effectuée dans le cadre de l'IPCC. Une étape intéressante
serait d'effectuer cette analyse en cycle saisonnier des modèles ayant retrouvé leur
équilibre\footnote{l'application au forçage de type rampe pourra
faire l'objet d'une ultime section si nécessaire.}.
On justifie ainsi la section suivante qui explore les systèmes soumis à un forçage périodique.
%
\paragraph{Analyse des composantes périodiques de rétroaction}
%
Le cycle saisonnier du climat exhibe une dynamique de grande amplitude, qui exclue l'approche
par le SLT. L'analyse de Floquet du SLTC semble alors l'outil nécessaire ici. Cette approche
a déjà été appliquée au climat par M.Ghil et al. qui ont montré le lien entre des vecteurs de Floquet
et des phénomènes climatiques importants comme ...

Rappelons brièvement comment on construit cette analyse, le détail étant reporté à l'annexe C.

{\bf à faire et à voir} (hypothèses, définition de la matrice des vecteurs de Floquet, propagateur).

On veut caractériser le comportement asymptotique de l'effet--en--retour~:\\
 $\varrho(t,0) = \bra{c}\int_0^t\Phi(t,\tau)\ket{b(\tau)}s(\tau) d\tau$, soit
$\lim_{n\rightarrow\infty}\varrho(t+nT,0)$.

 Le comportement asymptotique du propagateur
dans ce cadre des hypothèses de Floquet est donné par~:
%
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
\int_0^{t+nT}\Phi(t+nT,\tau) d\tau=&e^{\Lambda nT}\int_0^t\Psi^F(t)e^{\Lambda(t-\tau)}\Psi^{-F}(\tau)d\tau \\
&+\int_t^{t+T}\Psi^F(t)\diag{\left[\displaystyle\frac{I-e^{\Lambda nT}}{I-e^{\Lambda T}}e^{\Lambda(t+T-\tau)}\right]}\Psi^{-F}(\tau)d\tau
\end{array}\label{thPF}\end{equation}
%
qui permet de déterminer le comportement asymptotique de l'effet--en--retour pour
un système stable, périodiquement forcé~:
%
\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow\infty}\varrho(t+nT,0)= \sum_k\frac{1}{1-e^{\lambda_kT}}\overline{\varrho_k}(t) + \epsilon(nT)
\label{oui}
\end{equation}
%
dans laquelle apparaît un effet--en--retour périodique $\overline{\varrho}(t+T)=\overline{\varrho}(t)$
défini par
%
\begin{equation}
\overline{\varrho_k}(t)=\bra{c}\int_0^Te^{\lambda_k(T-\tau)}\ket{\psi^F_k(t)}\scal{\psi^{-F}_k(t+\tau)}{b(t+\tau)}s(t+\tau)d\tau
\label{oui2}
\end{equation}
%
La décomposition de $\ket{b(t)}$ fournira classiquement alors des CIR périodiques.
On trouve ainsi que tous les vecteurs de Floquet contribuent aux CIR, les mécanismes effectuant
entre--eux une sélection par ce poids $\scal{\psi^{-F}_k(\tau)}{b(\tau)}$ intervenant dans
$\overline{\varrho_k}(t)$.

On aura en résumé des CIR dont les phases et les amplitudes diffèrent dans l'intra-saisonnier,
autrement dit avec un découpage de la $\Delta T_{s}$ variable~: bref, on a une variation
saisonnière de la contribution au total de chaque effet des rétroactions.
%
\paragraph{Illustration avec un modèle simple du climat}
%
Soit on augmente le modèle de Barsugli-Battisti, soit celui de l'EPL, avec en plus de WV la retro albedo,
et si possible ocean et Lapse-Rate. Soit on passe à ClimSI avec la totale ...

{\it Il me semble que cet article étant à destination de l'IPCC, un modèle très simple
validant et illustrant les méthodes est plus approprié, alors que ClimSI apporterait un
message scientifique de nature différente}. De plus, l'intérêt du modèle WVsimple est qu'il colle
parfaitement à la vision d'équilibre radiatif, en découplant la température équivalente
de rayonnement des lapse--rate et autres ayant pour effet de déterminer cette altitude $T_eq(z_e)$
et {\it in fine} la surface $\DT_s$.
%
\subsection{Application aux GCM}
%
On s'aide de la formulation précédente pour analyser la pratique GCM--IPCC.
%
\begin{itemize}
\item {\bf système de base}\hspace{1cm} L'analyse des rétroactions climatiques considère
que ``la rétroaction purement radiative''\footnote{dîte par ciel clair, on la dénommera rétroaction de Planck.},
à savoir le rayonnement d'un corps noir~(le système de référence avec sa structure climatique), est
la réponse triviale du climat à
un réchauffement -- même si les calculs radiatifs au sein de l'atmosphère en présence
de gaz-traces et autres aérosols n'est guère triviale. Par chance, cet effet est aussi un effet
qui se manifeste instantanément ou quasi, ce qui permet des hypothèses réalistes de perturbation initiale.
\item {\bf la variable jauge}\hspace{1cm}
Préciser le mode et le rôle de la perturbation au forçage saisonnier $s(t)$. {\bf à voir, en fonction
des méthodes d'intercomparaison}; il s'agit peut-être d'articuler le passage entre analyse de
sensibilité et de rétroaction. L'analyse climatique privilégie la variable température atm de surface,
pour une raison anthropologique évidente (lieu de vie, de ressource et d'industrie). Par exemple,
la méthode PRP perturbe directement $T_s$ (même si justification via $\Delta Q$ TOA);
\item {\bf la perturbation}\hspace{1cm} on veut associer une perturbation initiale en température à
un forçage climatiquement réaliste (CO2, TOA SW , aérosols~(Pinatubo), ou cas particuliers~: SST...
En conséquence, on prétend analyser des sensibilités climatiques en terme de rétroaction, c'est la
difficulté qui nous éloigne du formalisme strict des définitions formelles de la rétroaction.
\item {\bf sensibilité climatique}\hspace{1cm}
L'évolution du climat est considérée comme
caractérisant les effets liés aux variations des phénomènes météorologiques~(vapeur d'eau et nuages, albedo de surface,
profils verticaux, voire, influence du réservoir océanique et échanges entre inter--extra tropiques).
Dans le cas du réchauffement global, un step de la concentration de CO2 perturbe $\theta_{atm}$
quasi--instantanément, déclenchant une série de réajustements climatiques. La perturbation est alors un certain profil
vertical suivant les nouveaux bilans radiatifs~(instantanés). Les rétroactions climatiques modifiant ce paysage
vont alors s'établir dans le temps et finalement aboutir à un nouvel équilibre, c'est du moins la vision classique
de l'analyse du réchauffement global. Une modification du TOA--SW induit d'autres voies vers un équilibre
souvent comparé à celui du CO2, justifié ? voir Hansen et d'autres
\item {\bf la verticale}\hspace{1cm} Il faut alors associer des bilans radiatifs aux perturbations en température;
ici, commenter les équations d'équilibre $\rightarrow$
 Une difficulté provient du fait qu'il n'y a aucune raison pour que les
profils initiaux (la perturbation) et finaux (Planck à l'équilibre) soient les mêmes (à un facteur près --- linéarité).
On a recours à ce qui semble un artefact d'analyse en introduisant une rétroaction de lapse-rate.
\item {\bf l'horizontale}\hspace{1cm}
et propositions d'analyse // Colman (moyennes zonales) avec cycle saisonnier. (mais alors, comment
estimer l'impact des échanges entre zones ?) Isoler une cellule de Walker ?
\item {\bf l'équilibre}\hspace{1cm} cycle saisonnier et moyenne annuelle; est-il possible d'utiliser le cycle
saisonnier actuel pour évaluer des effets du réchauffement --- ceci en liaison avec le fait que le cycle
saisonnier sollicite plus amplement le climat que le réchauffenent, mais avec un filtrage manifestement passe--haut;
(S'agit de comparer sur les mêmes SLTC--Floquet deux perturbations~: step ou rampe versus cycle saisonnier (+ effet
du bruit météo);
\item {\bf des régimes}\hspace{1cm}
évidemment, si on pouvait caractériser des rétroactions en fonction d'un paramètre climatique, comme
le ``régime de circulation'' de Bony {\it et al} 2006, eh bien, faudrait le faire !
\item {\bf la pratique}\hspace{1cm}
Examiner les différences PRP avec CRF et autres, lien avec hypothèses verticales dans $f(\eta)$.
\end{itemize}
%
et terminer par  un résumé sur les propriétés des CIR en relation avec les résultats d'intercomparaison publiés
(additivité, proportionnalité, etc)


Me semble aller de soi de reporter à une autre étude l'histoire de moyenne des rétroactions {\it versus}
rétroaction moyenne, voire stochastique ...
%
\paragraph{Lien entre analyse de sensibilité et rétroactions}
%
Pour un modèle de climat 1D, le système déterminant une composante $\Dth_i$ de l'effet-en-retour sur
la température de surface~(scalaire) est le suivant~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu K+P)\Deta  = A^i\Deta &+ \ket{b_i}(\Dth_i+\varpi(\mu))\nonumber\\
\Dth_i = \bra{c} \Deta& 
\end{array}
\right.
\label{sens}\end{equation}
%
où $K$ représente
la matrice d'inertie de couches, $P$ la "matrice de Planck" --- soit~: $\partial_T R$
où $R$ est le vecteur des flux quittant chaque couche, cf L\&C. La matrice d'avance
de phase complète est ainsi
 $[P-A]$, avec $A=\sum A_j=\sum\ext{b_i}{c}$\footnote{là je triche en fait, en supposant
que ``tout passe par la surface'', ce qui revient à anuller une matrice $A^\flat$
n'apparaissant pas dans les rétroactions listées.
C'est peut-être ici qu'il faudrait introduire l'hypothèse du lapse-rate constant, mais j'y arrive
pas. On peut tenter $A\Dth=A\ket{1}\Dth_s + A(\Dth-\ket{1}\Dth_s)$, faire des hypothèses sur
$A$ ou même sur la forme $\Delta F_{ext}$ pour justifier une forme simple, mais je cale --- voire
les conséquences next paragraphe (le ``à vérifier'').}, et où on a de nouveau
posé $A^i=A-\ext{b_i}{c}$. Dans ce système, on
utilise une perturbation arbitraire pour exciter un mécanisme de rétroaction particulier
représenté par $\ket{b_i}$. L'analyse en CIR excite ainsi chacun de tous les mécanismes
possibles de rétroaction dont la somme est la réponse globale du système --- à la perturbation
directe près.

La pratique climatologique est de considérer un ``forçage externe'' --- comme un saut de
la constante d'ensoleillement~(ou une variation astronomique), ou un accroissement de CO$_2$ ou d'aérosols,
ou encore une perturbation localisée ou non de la SST ...
On s'intéresse à l'impact de ce changement sur, par exemple, $T_s$. Il s'agit alors à
proprement parler {\bf d'analyse de sensibilité}. Or, ce type d'analyse est systématiquement
sollicité pour en induire le rôle des rétroactions comme composantes de cette sensibilité
globale. L\&C posent ainsi par exemple le système suivant~:
%
\begin{equation}
\partial_t K\DT  = -P\DT+\Dfi_{rad}+\Dfi_{loc-dyn}+\Dfi_{dyn}+\Delta F_{ext}
\label{statgcm0}\end{equation}
%
ou presque, puisqu'ils le considèrent à l'équilibre final seulement.
On prendra $\Dfi_{dyn}$ nul~(les bilans d'échanges horizontaux), notre modèle étant 1D. On a alors un lien évident entre
nos $\ket{b_i}\Dth_i$ et leur $\Dfi_i$, et leur analyse via les transferts semble
la meilleure façon d'analyser exhaustivement les mécanismes du climat déterminant
la réponse globale $\DT_s$ au forcage $\Delta F_{ext}$.

Comment lier cette sensibilité aux rétroactions précédemment définies ? La solution
tient dans le choix de la perturbation $\varpi(t)$; en effet, les climatologues ---
que nous fréquentons avec parcimonie --- considèrent la réponse de Planck comme
non-significative du climat, Ceci se traduit par le ``système sans rétroactions''
(on devrait ajouter ``climatologiques'')~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
(\mu K+P)\Deta  =  \Delta F_{ext}\nonumber\\
\Dth_0 = \bra{c} \Deta
\end{array}
\right.
\label{sens0}\end{equation}
%
qui détermine une réponse de base $\Dth_0(\mu)=\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\Delta F_{ext}$.
Alors, une composante additionnelle de rétroaction est simplement la réponse d'un mécanisme
à la perturbation $\varpi=\Dth_0$~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu K+P)\Deta  = A^i\Deta &+ \ket{b_i}\Dth_i+\ext{b_i}{c}(\mu K+P)^{-1}\Delta F_{ext}\\
\Dth_i = \bra{c} \Deta& 
\end{array}
\right.
\label{sensi}\end{equation}
% 
qui fournit~(cf~\ref{retro3})
%
\begin{equation}
\Dth_i=\frac{\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\ket{b_i}}{1-\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\ket{b}}\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\Delta F_{ext}
\label{sens2}\end{equation}
% 
La réponse globale, quant à elle, est donnée par~:
%
\begin{equation}
\Dth_{tot}=\bra{c}(\mu K+P-\ext{b}{c})^{-1}\Delta F_{ext}
\label{sens3}\end{equation}
% 
que l'on peut encore écrire~:
%
\begin{equation}
\Dth_{tot}=\bra{c}(\mu K+P)^{-1}(I-\ext{b}{c}(\mu K+P)^{-1})^{-1}\Delta F_{ext}
\label{sens4}\end{equation}
% 
On peut vérifier formellement que la somme des contributions donne bien la réponse
globale~:
%
\begin{eqnarray}
\Dth_0+\sum \Dth_i&=&(1+\frac{\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\ket{b}}{1-\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\ket{b}})\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\Delta F_{ext}\nonumber\\
     &=&\frac{1}{1-\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\ket{b}}\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\Delta F_{ext}
\label{sens5}\end{eqnarray}
% 
Les égalités~(\ref{sens3}) et~(\ref{sens5}) doivent être vérifiées pour tout $\Delta F_{ext}$; on doit
donc vérifier l'égalité~:
%
\begin{equation*}
\frac{\bra{c}(\mu K+P)^{-1}}{1-\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\ket{b}}\;\stackrel{?}{=}\;\bra{c}(\mu K+P)^{-1}[I-\ext{b}{c}(\mu K+P)^{-1}]^{-1}
\end{equation*}
%
ou encore en croisant les inverses~:
%
\begin{equation*}
\bra{c}(\mu K+P)^{-1}[I-\ext{b}{c}(\mu K+P)^{-1}]\;\stackrel{?}{=}\;(1-\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\ket{b})\bra{c}(\mu K+P)^{-1}
\end{equation*}
%
le terme de droite se transforme en~:
%
\begin{equation*}
\begin{split}
\bra{c}(\mu K+P)^{-1}-\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\ket{b}\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\\
=\;\bra{c}(\mu K+P)^{-1}[I-\ket{b}\bra{c}(\mu K+P)^{-1}]
\end{split}
\end{equation*}
%
et s'identifie au terme de gauche, vérifiant l'égalité entre la réponse globale et la somme des CIR
augmentée de la perturbation directe\footnote{c'était quasi évident en considérant la~(\ref{retro4}), mais
pourquoi renoncer à un calcul plus sophistiqué ?}. Les égalités restent vraies pour toute matrice de
base plus complète\footnote{à rapprocher du terme d'OHU $(\lambda_P+\lambda_O)$
de DuB.} $[\mu K+P-A^\flat]$, {\bf mais pas} si on laisse une partie du modèle hors d'analyse
avec~: $\ext{b}{c}\rightarrow\ext{b}{c}+A^\flat$.
%
\paragraph{Détermination pratique des caractéristiques de rétroaction}
%

Pour un forçage $\DFext$ appliqué successivement au modèle~:

{\bf (encore à bien vérifier\footnote{incluant la proposition de StepH du 29.12.08, il
reste un doute sur le choix ici arbitraire de la perturbation $\DFext$.}~:)}

\bigskip
{\it analyse inclusive}\hspace{1.5cm}
%
%
\begin{enumerate}
\item on détermine $\Dth_{tot}$;
\item on construit une liste de mécanismes {\bf séparés} contribuant à la rétroaction globale du système;
\item pour chacun des mécanismes de la liste, on en gèle un seul et on relève $\Dth^i$ (qui n'est pas
le $\Dth_i$ recherché !);
\end{enumerate}
%
alors, on a
%
\begin{itemize}
\item les effets-en-retour~$\rho_i=\displaystyle\frac{\Dth_{tot}-\Dth^i}{\Dth^i}\;(=\frac{g^\ast_i}{1-g^\ast_i})$;
\item et les gains inclusifs $g^\ast_i=\displaystyle\frac{\Dth_{tot}-\Dth^i}{\Dth_{tot}}$;
\end{itemize}
%
bizarrement, la procédure ne définit pas $\Dth_i$~, parce que la perturbation de base est à multiplier
par $f^i$ qui reste inconnu~(cf fig.~\ref{gstar}). C'est ce qui est choquant et réduit l'intérêt de l'analyse inclusive à
ne donner définitivement que la proportion relative du réchauffement
$\displaystyle\frac{\Dth_{tot}}{\varpi}$, ainsi que ce gain attaché à l'ouverture d'une seule boucle de
rétroaction\footnote{On peut s'en convaincre en transformant l'équation de base des gains, pour le cas
le plus simple où $\DFext$ se réduit à pertuber $T_s$~:
%
\begin{equation*}
\begin{split}
(1-g)\Dth_{tot}=\varpi \rightarrow (1-g+g_i-g_i)\Dth_{tot}=\varpi , \textit{ ou encore}\\
(1-\frac{g_i}{1-g+g_i})\Dth_{tot}=\frac{g_i}{1-g+g_i}\varpi=\Dth_0^i
\end{split}
\end{equation*}
%
il en suit que $\Dth_{tot}-\Dth_0^i = \frac{g_i}{1-g}\Dth_0$, alors que la composante inlusive
est la même fraction fois $\varpi$, c'est le message de la fig.~\ref{gstar}.
Autrement dit, la réponse inclusive doit être associée à
$\Dth_{0}^i$ pour obtenir par sommation $\Dth{tot}$, c'est la seule contrainte qui fixe la perturbation
à appliquer; ceci renforce le sens de ``inclusif''~: les composantes ne peuvent être dé-solidarisées,
elles partagent la réponse globale quand le système est intègre; dès qu'on le touche, hop ! elles
se modifient, ce qui peut encore se voir comme un avatar de la relation non-linéaire entre
les gains, qui s'additionnent, et les réponses.}.

{\it{\bf Mais on peut ajouter que c'est nécessaire, car gains et réponses restent indépendants
de l'amplitude de la perturbation dans le cadre linéaire}. Ceci revient encore à dire que, pour un modèle de SLT,
l'application de $\DFext$ est source d'analyse de sensibilité du système qui y répond avec tous ses mécanismes.
Ainsi, $\Dth_{tot}$ est la sensibilité de la T surface à cette perturbation. On peut remarquer que ce
résultat, contrairement à l'analyse de rétroaction, est obtenu en appliquant effectivement une perturbation.
Ou sinon, il peut être estimé linéairement de l'analyse de rétro à condition de connaître l'amplitude
de la perturbation. Et à l'opposé de la question du réchauffement, c'est bien l'intérêt de l'analyse
de rétroaction que de découpler la caractérisation du système de l'amplitude des perturbations ! Ici, on veut
le beurre et l'argent du beurre.

Dans ce cas comme on l'a montré précédemment, le lien avec les rétroactions se fait en approportionnant
cette excitation sur chaque boucle, \cadq la perturbation n'est plus arbitraire. Mais on a vu de plus
qu'elle nécessitait le choix d'un modèle de base, qui exclut toute autre mécanisme associé à rétroaction.

Comment redéfinir une procédure inclclusive semblable ? Soit une liste exhaustive traitée inclusivement. On
a par définition $\Dth_{tot}=(1+\sum\varrho_i)\varpi$~(c'est les $\varrho_i$ qui sont définis inclusivement)~:
avec $\varpi$ arbitraire, la réponse globale lui est proportionnelle.
Il suffit de se donner l'une ou l'autre pour déterminer les sensibilités. Dit encore autrement, dès qu'on s'intéresse
aux réponses, ce sont les effets-en-retour qui sont pertinents en inclusifs, et les gains exclusifs, mais
les premiers se calculent avec la trajectoire et se généralisent au SLTC, pas les deuxièmes.}

\bigskip
{\it analyse exclusive}\hspace{1.5cm}
%
\begin{enumerate}
\item on détermine $\Dth_{tot}$;
\item on construit une liste de mécanismes {\bf séparés} contribuant à la rétroaction globale du système;
\item on gèle tous ces mécanismes de rétroaction et on relève $\Dth_0$;
\item pour chacun des mécanismes de la liste, on gèle tout sauf un seul et on relève $\DT^i$;
\end{enumerate}
%
alors, on a
%
\begin{itemize}
\item $\DT^i=\displaystyle\frac{g_i}{1-g_i}\Dth_0$, d'où on déduit
 $g_i=\displaystyle\frac{\DT^i}{\DT^i+\Dth_0}$, les gains exclusifs de rétroaction;
\item le gain total $g=\sum g_i$, et le facteur global de rétroaction $f=\displaystyle\frac{1}{1-g}$;
\end{itemize}
%
Ainsi, l'analyse inclusive se contente d'affirmer que la suppression d'un mécanisme provoque une réduction
relative de $\displaystyle\frac{\Dth_{tot}}{\varpi}\rightarrow\times(1-\varrho_i)$, chaque mécanisme ajoutant
sa réduction propre dès lors qu'il s'agit de mécanismes séparables.

\smallskip
Mais dès qu'une liste est supposée exhaustive, laissant un dernier paquet attribué au $\Dth_0$, avec un certain
arbitraire, les deux méthodes trouvent leur correspondance~:
%
\begin{itemize}
\item en analyse inclusive~:
%
\begin{itemize}
\item les composantes inclusives $\Dth_i=\varrho_i\Dth_0$, et alors $\Dth_{tot}=\Dth_0+\sum\Dth_i$;
\item  les facteurs partiels~$f^i=\displaystyle\frac{\Dth^i}{\Dth_0} (=\frac{1}{1-g+g_i}$, cf~\ref{gstargb},
 car c'est bien $g^\ast_i$ qui a été anullé);
\item les gains exclusifs $g_i=\displaystyle\frac{f-f^i}{f f^i}=\frac{\Dth_0}{\Dth^i}g^\ast_i$, d'où $\Dth_i=g_i\Dth_{tot}$;
\item et le facteur global net de rétroactions~$f=\displaystyle\frac{\Dth_{tot}}{\Dth_0}$;
\end{itemize}
%
\item en analyse exclusive~:
%
\begin{itemize}
\item les composantes inclusives $\Dth_i=\displaystyle\frac{g_i}{1-g}\Dth_0=\frac{\DT^i}{\DT^i+\Dth_0}\Dth_{tot}$;
\item d'où les effets-en-retour~$\rho_i=\displaystyle\frac{\DT^i}{\DT^i+\Dth_0}\frac{\Dth_{tot}}{\Dth_0}$;
\end{itemize}
%
\end{itemize}
%
On a en particulier $g_i=\displaystyle\frac{\Dth_i}{\Dth_{tot}}$, \cad que l'on retrouve
la ``définition'' de Hansen {\it et al}, mais pour une détermination
très différente des $\Dth_i$.

On peut alors vérifier l'exhaustivité des rétroactions retenues;
le gain total $g=\sum g_j$ doit être compatible avec $f=\frac{1}{1-g}$ ou de même
$\Dth_{tot}=\Dth_0+\sum\Dth_j$. Comme y insiste JLD\footnote{communication particulière du 13/10/08.},
comment comprendre intuitivement que ce gain --- qui bien évidemment --- ne dépend pas des autres
rétroactions, de par sa définition même~: $g_i=\bra{c}(\mu K+P)^{-1}\ket{b_i}$, puisse encore se définir
``climatologiquement'' par $g_i=\displaystyle\frac{\Dth_i}{\Dth_{tot}}$, qui dépend de tout !
Il se trouve que le reste
du système s'introduit multiplicativement, cf (\ref{gstargb}). Mais il reste bien qu'une fois
ce gain déterminé il est acquis, qu'on ai ou pas effectué d'autres
déterminations. Ainsi, comme dans DuB, ajouter un nouveau mécanisme tel que l'OHU --- qui ne modifie
pas la réponse de Planck --- change chacune des réponses inclusives $\Dth_i$, mais aussi $\Dth_{tot}$,
laissant le rapport $\displaystyle\frac{\Dth_i}{\Dth_{tot}}$ inchangé !

{\bf Commentaires}\hspace{1.5cm}Si la liste n'est pas exhaustive, la procédure 3-inclusive va définir un
modèle de base avec une matrice supplémentaire $\mu K+P-A^\flat$. La réponse globale est évidemment
non-ambigüe, mais l'analyse donnant~(\ref{sens2}) et l'égalité~(\ref{sens4}) reste valable. On n'a donc
aucun moyen de vérifier la compatibilité. En pratique, le point 3 est obtenu par une procédure
simple, car ``rien ne bouge'', que les profils verticaux de température; mais alors, si la liste en 2
n'est pas exhaustive, on ne retrouvera pas les sommes ? Il faut du coup encore envisager une autre
méthode de perturbation avec le $\varpi=\Dth_0$ en abandonnant le forçage $\Delta F_{ext}$, etc
tout restant possible à ce stade. Ou alors justifier la méthode PRP avec ses avantages comparés
--- ce qu'il faudra faire dans tous les cas !~(je laisse sans comprendre la question 29/12/08.)

\bigskip
{\it alors laquelle des deux ?}\hspace{1.5cm}
pasque, une fois qu'on a dit ça, pourquoi serait-on particulièrement satisfait de cette introduction
de l'analyse inclusive, je vous demande de ne pas vous arrêter de le demander~\ironie  Tout ne tient semble-t-il
qu'à cette forme du $\varrho_i=\displaystyle\frac{g^\ast_i}{1-g^\ast_i}$~: qu'a-t-elle de si enthousiasmant ?
Elle dit que la réponse du système avec une seule boucle de rétroaction de gain $g^\ast_i$ est
une composante inclusive, ce qui permet sa détermination numérique en même temps que le calcul de
trajectoire, et ceci pour un nombre quelconque de composantes. Ce n'est pas le cas de l'analyse
exclusive. L'une est ainsi généralisable, l'autre pas. Ça se voit encore en remarquant que les gains inclusifs
et effets-en-retour ne dépendent pas de $\Dth_0$, contrairement aux gains exclusifs.
%

\paragraph{simplement à l'équilibre}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Il y a peut-être un intéret à reprendre la présentation dans le cas // DuB.
On écrit successivement en accord avec les trois diagrammes équivalents,
que $f=\displaystyle\frac{1}{1-g}=\frac{\frac{1}{1-g+g_i}}{1-\frac{1}{1-g+g_i}g_i}=f^i\times\frac{1}{1-g^\ast_i}$.
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/ifcbis.eps,%
bbllx=0pt,bblly=0pt,bburx=776pt,bbury=186pt,width=16cm,clip=}}
\caption{Introduction du gain inclusif en deux étapes.}
\label{gstar}
\end{figure}
%

Pour conclure que $g^\ast_i$ est le gain du système avec une seule boucle de rétroaction.

En introduisant les ``facteurs de rétroaction'' $\lambda_x$, on retrouve les résultats de
DuB, avec~:
%
%
\begin{equation}
\begin{split}
\Delta G = \Delta F_P+\sum\Delta F_x =\lambda\DT_s; \quad \lambda = \lambda_P+\sum\lambda_x;\\
 g_x = -\frac{\lambda_x}{\lambda_P};\quad g_x^\ast = -\frac{\lambda_x}{\lambda-\lambda_x};\quad
\rho_x=-\frac{\lambda_x}{\lambda};\\
g =\sum g_x = 1-\frac{\lambda}{\lambda_P};\quad f=\frac{\lambda_P}{\lambda};\quad f^x=\frac{\lambda_P}{\lambda-\lambda_x};
\end{split}
\end{equation}
%
 oú on a noté $\Delta G$ le bilan radiatif TOA comme dans Zhang.
\paragraph{interprétation d'analyses avec GCM}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Le but étant d'abord de comprendre les différentes méthodes, de les classer et critiquer
avec le formalisme précédent, de faire les liens entre eux, en déduire des CIR, etc
%
\begin{itemize}
\item sensibilité au forçage CO$_2$

\bigskip
%
\begin{itemize}
\item Hansen {\it et al} 84, peut-on les qualifier de fondateurs ? En tout cas, tout y est ou presque des
méthodes appliquées par la suite. On pourrait baser notre intro sur un hommage à la leur.
%
\begin{itemize}
\item Expérience climato. GCM 3D grossier avec slab-ocean de 67m à flux figés (36x12x9). comparaison
$s_0\times1.02$ et $2\times CO_2$.
Définition ref Bode du gain par $g_i=\displaystyle\frac{\Dth_i}{\Dth_{tot}}$; lien entre $f$ et transitoires, et
référence au temps d'établissement des fb.
\item rétroactions, par transplantation des résultats moyennés du 3D dans un code 1D\footnote{ce qui me semble
une excellente méthode si je puis me permettre.}, avec séparations extrêmes, genre ~: $Q$ moyen, puis effet
de répartition verticale $\bar{Q}(z)$; même chose sur cld amount plus cld altitude. A remarquer que la base
est calculée avec $2\times CO_2$ par exemple par le 1D qui inclue un ajustement vers le profil donné au modèle
(voir discussion L-R).

Problème, il faut imaginer leurs procédures, car elles sont mal décrites bien que détaillées~: ex le L-R fb
est calculé en reportant dnas le 1D ``pair by pair'' le L-R du 3D moyen, hum ?  Quant au tableau I résumant
l'analyse des fb, impossible de faire le lien avec la Fig 6.

A chaque fois, c'est $\Dth_s$ qui est analysé pour $g$ et $f$ --- mais impossible de reconstituer leurs
calculs, qui semblent de plus partir sur une base fausse (mésinterprétattion de $\Dth_{ow}$ etc. Mais ils
fournissent aussi les cartes du forçage radiatif induit, donc lien possible à faire avec PRP.
\item je passe sur diverse analyses de climat glaciaire et scenario futur. Mais un poin de vue en annexe
intéressant sur le transitoire et $f$ d'équilibre en annexe A, à discuter dans notre contexte.
\end{itemize}
%
\bigskip
\item Schneider {\it et al} jas-99~: sensibilité de $\DT_s$ moyenne globale 5 ans à doublement de CO$_2$;
nuages fixés, WV radiatif fixé, par tranches d'altitude, inter ou extra tropiques.
Considérations intéressantes sur le L-R effect, discussion $z_e$ vu du haut mais aussi $z'_e$ vu
de la surface ! GCM basse résolution avec slab-ocean, nuages et sea-ice albedo prescrits. Comparaison
des sensibilités en 1x et 2x CO$_2$ avec WV prescrite ou pas pour LW radiation. Moyenne des sensib locales.
Reste effet cloud emissivity(T).

%
\begin{itemize}
\item Méthode des trois trajectoires : pour unconstrained, différence $\DT_s$ classique
entre 2x et 1xCO$_2$; on bloque en spécifiant les champs du 1x pour le 2x run, clouds et WV.
Seuls les calculs radiatifs utilisent ces champs spécifiés, si bien que le reste, convection profonde,
condensation etc restent pronostiques. Avec une spécificté qui est de
prendre comme unconstrained WV le 2x avec WV du 2X prescrit ! Cycle diurne ici, ils montrent également
l'incohérence introduite par une moyenne temporelle (jour ou mois), incohérence entre SW et LW interaction.

\item Résultats, table I : $\DT_s$ avec ou sans blocage Cloud et WV par tranches de tropo.
$\DT_sw$ totale de 2.3~K (2.05 avec cld fixés). Cartes humidité eau précipitable hum rel etc.
Bilan atm non atteint, qui prend
2.5 W m$^{-2}$ mais les cédent aux surfaces continentales. Hum rel globale ne change pas, mais
à l'equateur, le L-R diminue (haute trop +3.2~K contre 2.2~K surface ``suivant la moist adiabatique
du climat plus chaud'' ???\footnote{en contradiction avec la Fig.~5 ?}, et ainsi un {\bf L-R f-b négatif}.

\item Feedback-analysis : $\DT_s = \frac{1}{1-g}\DT_0$, $\DT_0=1.08$~K sans f-b (cld et WV). on applique
successivement la formule avec $\DT_0$ et différentes $\DT_{si}=\frac{1}{1-g_{cld}-g_{wv}}$, et
$g_{wv}=g_{BL}+g_i+g_2+g_3$ en annulant les bons avec table I donne table II ($\DT_s^{wv}$=2.05~K).
On peut en déduire les {\bf IFC}~($=\frac{g_i}{1-0.53}\DT_0$) pour cld~(0.14~K), BL~(0.30~K),
low tropo~(0.41~K), mid tropo~(0.18~K), et hi tropo~(0.18~K), avec tropo~(0.78~K);
total=1.22+1.08=2.3. Soit encore par tranche de 100~hPa dans le même ordre en 10$^{-2}$K par
tranche de 100 hPa : 11, 14, 8, 8 $\rightarrow$  low tropo est dominante, la $z_{eq}$ étant
dedans --- ils disent p 1651 entre 600 hPa tropiques à 500 aux hautes
latitudes, alors que les basses sont entre 750 et 450~hPa\footnote{pour info {\bf modèlisation}, la $z_{eq}^\downarrow$
est entre 800 et 700 hPa aux hautes, et entre 600 et 400 aux basses.}, justifiant leur découpe verticale.
Sur la bande intertropicale, on trouve des IFC dùes à la tropo seule de 0.34~K, pour 0.50 extra-tropiques.
{\it remarque sur ces découpages par zône ou par bande, on n'explicite pas l'influence des échanges,
même si la somme reste correcte; il s'agit donc de contributions tous échanges confondus, alors
qu'on pourrait en plus introduire des rétros dynamiques.}
%
\end{itemize}
%
\bigskip
\item Colman McAvaney 97 et Colman 2003
 97~:Juillet perpétuel GCM slab oc. $\pm 2~$K SST exp. et champ $CO_2$ Focus sur Cld, soil moisture, Kuo-Tiedke L-R.
Sensibilité principale à L-R et WV, trouvées dépendantes des C.L.
LW cld amount fb est negatif (g>0), f de hi et mid décroit), contrairement à cld z avec z\_hi croissant.
Cld sensi dépendantes du schéma convectif. Analyse en latitudes x p, 5 expés.

Rien de neuf sur PRP mais discussion méthodo sur moyenne Clear-sky, linéarité.
\bigskip
\item Soden {\it et al} 2006 critique de PRP $\pm 2$~K pour decorrellation entre nuages et WV.
Les ``kernel'' radiatifs sont la réponse nette TOA à un $+1$~K sur une maille, ou l'équivalent en Q à RH constant.
Discussion des résultats latitude x pression, puis application à la comparaison de 14 GCM.
Les kernels sont déjà dispersés, etc On a $\lambda_x=K^x dx$.
et encore discussion entre la définition de Cld radiative forcing et $\Delta R_{cld}$.

\bigskip
\item Bony {\it et al} 2006 et Dufresne Bony 2008

\bigskip
\end{itemize}
%
\item Partial Radiative Perturbation

\bigskip
%
\begin{itemize}
\item Cess {\it et al} 90 Evolution avec $\pm 2$~K SST à l'équilibre juillet perpétuel.
Sensibilité TOA à SW, LW clear ou overcast. Focus sur Cld f-b entre 19 GCM.

\bigskip
\item Zhang {\it et al} 94  PRP sur $\DT_S=\pm 2$~K. Sensibilité pour total, clear-sky et overcast à
Planck, LR, WV et Cld. Même méthode que Cess pour comparaison entre versions du même CCM2, avec
trois différents schémas de convection; analyse latitude x pression des sensibs (LW et/ou SW).
Cycle diurne, sol etc juillet-perpet (sol profond juillet climatique).
\begin{itemize}
\item Méthode~(justifiée par dérivées partielles des flux TOA) : pour $\Dth_s$ trouvé, avec $\Delta Q$,
on regarde les bilans TOA en prenant successivement profils de $T+\DT_{\mbox{\tiny{SST}}}$, $T+\DT$, la différence étant
attribuée au L-R, etc S'agit donc d'analyse exclusive. {\it que serait cette mise-en-pratique
d'une analyse inclusive ?} Ils montrent que somme des off-line PRP donne le quasi-même bilan que
le run, d'où ils déduisent que la réponse à $\DT=4$~K est linéaire. Le gain permet une analyse
en nuages par tranche de bas / moyen / haut {\bf comparer à Schneider}. Analyse du Cld rad fb en sus.
Les sensibs en latitudes montrent non pas la non-linéarité, mais l'effet non pris en compte
de la dynamique (me semble-t-il, contrairemnent à leur analyse deu surplus PRP en Antartique, qu'ils
attribuent à un ``découplage surface / tropo'' ?). C'est ainsi que la décomposition amplifie
la sensib etre -30 et 30, pour la sous-estimer au-delà.

Le terme de Planck est pris du LW en clear sky, puisqu'alors l'effet du SW est à inclure uniquement dans le WV.
L'analyse Cld-fb sépare les effets T, LR et Clds, et par tranche d'altitude.
%
\item résultats Le modèle avec la convection la plus réaliste (et la plus forte) amplifie à la fois
les Clds tropopause, Q, mais aussi la plus forte augmentation de T $\Rightarrow$ la plus forte rétro
négative.
%
\item discussion. La convection dans l'ITCZ assèche la tropo (RH~$\searrow$), augmente T surtout
en haut (LR~$\searrow$); Q augmente bien sùr mais pas autant que $Q_{sat}$. En tout, on trouve plus
d'émission LW (fb négatif). Du point de vue de l'analyse en rétroaction, on peut dire que $\DT_{\mbox{\tiny{SST}}}$
déclenche plus de convection profonde, augmentant T et Q (rétros directes), Mais en ce qui concerne Clds,
ils sont fonction de ces deux grandeurs primitives, avec à la fois formation de nuages (impact Rad),
limitation de WV (précip), et redistribution de chaleur et eau par les mouvements de convection.
Dans un premier temps, on dirait formellement que la rétro des Clds devrait s'analyser de la contribution
des deux autres. Mais voilà, on dit causalement que la convection est au c\oe ur des rétros directes,
alors quoi ?
\end{itemize}
\bigskip
\end{itemize}
%
\item la rétroaction WV dans la variabilité climatique

%
\begin{itemize}
\bigskip
\item Hall et Manabe 99 J.  of Clim.. Méthode des trois trajectoires sur 1000 ans. Analyse spatio-temporelle
de la variabilité du climat non-perturbé (pas de cycle diurne). Comparaison avec 2xCO$_2$.
Le blocage de WV est fait en prenant les champs complets de WV sur 50 ans moyennés sur une année :
on a donc un champ complet par jour, chaque jour étant la moyenne sur 50 ans  --- en montrant au passage
le biais qui serait introduit par une moyenne spatiale.
Ils notent de plus que l'effet WV sur SW est toujours présent.

Ils font en réalité un calcul inclusif et corrigent ensuite par PRP évaluation des autres gains.
Pour ce gain global de 0.83, ils trouvent $g_\textit{\tiny{WV}}=0.39$ (on a 0.37, $f=1.58$).
Notre rapport des déviations standards est de 1.78, pour le leur entre 1.9 (Fig. I) et 1.53 qu'ils
donnent dans le texte ps.~2333. Le problème, c'est que nous trouvons une réduction pour les
signaux de périodes plu courtes que 10 ans, pas eux\footnote{et comme le remarque stepH, ceci étant dù à
quasi-absence de perturbation de type atm maîtresse, ce qui supprime l'intervention de notre pôle rapide
dans leur fig.~I}. Enfin, leur trajectoire avec rampe de CO$_2$
semble indiquer un gain négatif au démarrage, mais manque de résolution. 

\bigskip
\item Slingo {\it et al} 2000
%
\begin{itemize}
\item  variabilité géographique du climat pour en inférer la sensibilité à WV. ERA 15 (clear sky)
versus Hadley GCM~(HadAM3 SST prescrite) pour tester l'inférence. La pertinence par rapport au réchauffement climatique tient
à l'aspect temporel des différence spatiales utilisées. On est donc comme pour l'observation, sans analyse
par coupure de boucle.
\item {\bf méthode} Relation entre les moyennes annuelles de W~(column Water-Vapor en Kg m$^-2$)) $\Gamma$~(normalized
greenhouse effect) et l'OLR par régression sur scatter-plot des points de grille moyennés sur un mois~:\\
 $\ln W = a_1 + b_1 T_{SST},\;\; \Gamma = a_2 + b_2 T_{SST},\;\; \Gamma = a_3 + b_3 \ln W$.\\
Normalized greenhouse-effect~: $\Gamma=\displaystyle\frac{R_s-R_{TOA}}{R_s}$, où $R_s$ est le flux émis
par la surface et $R_{TOA}$ est le flux LW par ciel clair quittant le TOA. On observe des $b_i$ tous positifs, ce
qui indique que WV-fb est actif --- à ces échelles de variations. Comparaison avec le même régressions sur
les 10 points obtenus par moyenne annuelle des dix années 79-88 d'ERA (clear-sky ice-free oceans). En régressant
à mort du bruit, ils trouvent une cohérence avec les moyennes mensuelles par point de grille.
\item {\bf résultats} $\Gamma\propto 4.0 \times 10^{-3}$ K$^{-1}$ SST. $d_{T{s}}R_{TOA}\approx$ 2.~Wm$^{-1}$~K$^{-1}$, plus faible
que pour BB\textsuperscript{y}~=~3.6~.
Leurs scatter plots montrent des effets trés net de la dynamique aux hautes et basses latitudes.
\item comparaison avec HadCM3 de réchauffemet climatique~: l'effet du CO$_2$ modifie $d_{T{s}}R_{TOA}$,
ce qui complique la comparaison, mais $W$ idem. En déduisent l'impossibilité d'observer
l'effet OLR du réchauffement avec satellites. Il faut donc enlever de $g$ l'effet du CO$_2$, ce qu'ils tentent
en effectuant un calcul radiatif à CO$_2$ de base mais températures HadCM3, et, OK. Une remarque sur l'exclusion
de régions (sea-ice, land) qui ne modifient pas les résultats. Analyse des profils verticaux humidité, le L-R
n'a qu'une faible influence sur $\displaystyle\frac{d\Gamma}{d T_s}$.
\item on peut faire le lien entre $\displaystyle\frac{d\Gamma}{d T_s}$ et notre analyse, puisque\\
$d_{T_{s}}R_{TOA}=\lambda_P+\lambda_{WV}+ ...$, et que $R_s$ est connu ou BB\textsuperscript{y}- calculable~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
\Gamma &= 1-\frac{R_{TOA}}{R_s};\quad d_{T_{s}}R_s=4\sigma T_s^3;\\
 b_2&\approx \frac{1}{R_s}[ 4\frac{R_{TOA}}{T_s} - \sum \lambda_i ]\\
\end{split}
\end{equation}
%
application numérique, avec BB\textsuperscript{y}$\approx$3.6 cî-dessus, $T_s$=287.6~K et $F_{TOA}$=260~W~m$^-2$
de Slingo p 3086 , et $\sum \lambda_i\approx$~1.27 (global warming GCMs) de DuB, ça donne un $b_2$ de 0.005
au lieu de 0.0031 à 0.0044 clear-sky du papier.
 Ou plus directement les tables donnent $d_{T_{s}}R_{TOA}$ entre 2.41 (CLERA) et 1.9 (HadCCM3),
comparables à DuB $\lambda_{P+WV}=2.24$. Par contre, la valeur de OHU de DuB n'explique pas la valeur pour HadGHG
de 0.18~m$^{-2}$K$^{-1}$, mais on n'a pas le OHU de ce cas.
\end{itemize}
%
On peut plus globalement en conclure une certaine pertinence du lien entre variabilité géographique
et sensibilité du climat au réchauffement par PRP. C'est pour notre analyse un challenge qui interroge à la fois
l'analyse en Floquet pour les aspects temporels et aussi les sensibilités par la moyenne, Slingo ayant montré
avec débruitage scabreux des sensibilités comparables entre régression sur les scatter de points en moyenne
mensuelle (mais un seul mois d'avril 85 ERA montré) et celle des 10 points annuels des moyennes globales.

\bigskip
\end{itemize}
%
%
\item Cloud feedback and others

\bigskip
%
\begin{itemize}
\item Wetherald Manabe 88
\begin{itemize}
\item GFDL GCM, ajustement humide, cycle saisonnier; doublement de CO$_2$, focus sur Clds fb.
\item introduction de la PRP, du L-R, comparaison des modèles avec ou pas Cld-fb; Intro
des $\lambda$ // Dickinson 1D modele, par derivees partielles (par ``convenience in this study'').
convention de signe des $\lambda$ qui donnent un flux sortant (Planck positif) contraire à DuB ...
\item analyse de l'effet d'équilibre statique sur modifs Clds. Effets des hauts basses lat supplante
l'accroissement des bas aux hautes lat, ce qui donne un gain négatif aussi pour global Clds; de plus,
l'accroissement des bas se produit en hiver, \cad par faible ensoleillement. Les $\lambda$ sont
assez différents des actuels avec cet ancêtre de GCM, sauf Planck et WV.
\end{itemize}
%

\bigskip
\item Cai, Liu et Cai 2008

\bigskip
\end{itemize}
%
\end{itemize}
%


\newpage
\subsection{La rétroaction du lapsus vertical}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Bon, eh bien, dans la mesure où ce problème résiste, je propose d'abonder une
discussion aux contours du problème, en sachant que naîtra la lumière.

\paragraph{c'est un problème}
Tentons de poser le problème. Il s'agit de construire un modèle dynamique permettant
de critiquer la pratique. Ce ``L-R feed-back'' est de fait introduit de la pratique
des utilisateurs de GCM par la PRP, conduits à la détermination des rétroactions par sensibilité
des flux TOA à une perturbation --- de la SST par exemple. La question se pose
comme on l'a vu de déterminer un modèle de base, \cad sans aucune rétroaction que
radiative, pour passer des sensibilités aux rétroactions. Or, contrairement aux
processus physiques --- que l'on a proposé de tracer à partir des flux effectivement
calculés dans les modèles, aucune définition de variable ou de mécanisme n'est
liée dans les modèles --- sauf éventuellement dans des modèles simplifiés --- à une
modification exclusive du gradient vertical de $T$ en tant que tel.
Il apparaît indirectement, via la température potentielle virtuelle par exemple, dans
la stabilité atmosphérique, et ainsi, aussi bien dans les modèles de couche limite
atmosphérique que dans les divers modèles de convection profonde ou prou.

Mais alors, à qui attribuer le changement de profil vertical de la température~?
Ce profil est clairement dépendant des divers mécanismes impliqués dans les rétroactions
en souffrance d'analyse. La solution PRP adoptée est de séparer l'effet radiatif LW dù à ce
profil perturbé en deux termes ~: l'un uniquement dù à une perturbation uniforme du profil
--- effet de base ou ``Planck response'', le complément étant attribué par définition
au ``Lapse-Rate feedback''. Ainsi, l'état de base que nous devrions définir serait un
système répondant radiativement à la perturbation et tendant à l'équilibre au moins
vers une réponse de type $\ket{1}\epsilon$, \cad une perturbation verticalement uniforme.

Bon, mais c'est pas forcément pertinent, car on ne répond pas à la question de quels mécanismes
sont responsables de ce L-R fb. Et même, cette pratique définit une rétroaction --- prenons celle
du WV --- en conservant le profil originel de température et en modifiant uniquement
l'humidité spécifique~: on prend le profil d'équilibre atteint par le modèle perturbé et on effectue
un calcul purement radiatif avec ce champ de Q.
Il apparait ainsi que la rétroaction par WV n'inclue pas les modifications de profils
de température inhérentes aux processus qui sont intimement liés à la redistribution de Q,
à savoir~: évaporation/précipitations, turbulences et convections~(on reste en 1D). Les PRP
s'en tirent en attribuant à WV ce L-R fb introduit de la pragmatique, en justifiant comme
pour notre propre discussion de la stabilité verticale.

En ce qui nous concerne après cette introduction, la définition d'un modèle séparant les effets
de L-R ne semble être possible que par une manipulation formelle.
Ceci dit, un tel modèle serait pertinent s'il permettait de distribuer son effet entre les
rétroactions de processus~: on aurait ainsi des rétroactions attribuables à chaque processus
à L-R figé et à L-R libre. De plus on disposerait de ce fameux modèle de base, à savoir
celui donnant ``la réponse de Planck'', toute matrice additionnelle devant être analysée
en processus de rétroaction. Enfin, un tel modèle permettrait d'étendre la pratique PRP
à l'analyse dynamique, voire de proposer une pratique différente. Ceci dit pour justifier
ce jeu laborieux de tourner autour du pot. {\bf le lecteur pourra passer cet exercice et aller
directement aux conclusions, page~\pageref{prp}} 

Alors tournons, et pour ce faire, étudions le modèle d'état suivant~:
%
\begin{equation}
(\mu k I +P-A)\Deta = \Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}
\label{statm}\end{equation}
%
qui est le SLT du modèle perturbé par un forçage externe arbitraire $\Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}$.
On ne considère que les températures ($\Delta T \equiv \Deta$), et on a simplifié
en supposant $n$ couches de masses égales, avec la matrice diagonale d'inertie $K=k I$.
%
\paragraph{Le jeu trouble de la moyenne, première}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Il est très tentant de modifier un peu l'approche PRP en introduisant non pas leur réponse
de base $\ket{1}\DT_{\mbox{\tiny{SST}}}$, mais la moyenne verticale --- l'écart à celle-cì donnant
le L-R recherché. On obtient un modèle de la moyenne en sommant
les lignes de~(\ref{statm}) et en posant $\Deta=\Dthast+\ket{1}\Dthm$~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu k I +P-A)(\Dthast+\ket{1}\Dthm) &= \Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}\\
(\mu k +\bra{\frac{1}{n}}(P-A)\ket{1})\Dthm +\bra{\frac{1}{n}}(P-A)\Dthast&=\bra{\frac{1}{n}}\Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}
\end{array}
\right.
\label{statmm}\end{equation}
%
en remarquant que la somme des anomalies est nulle~: $\ket{1}\Dthast=0$.

S'il se trouvait par hazard que $\Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}$ provoque $\Dthast=0$, la réponse du système
serait donnée par $(\mu k +\bra{\frac{1}{n}}(P-A)\ket{1})\Dthm =\bra{\frac{1}{n}}\Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}$.
Avec, suivant le terme d'inertie, $\bra{1}(P-A)\ket{1}$, qui donne le bilan radiatif TOA provoqué
par n couches de température augmentée de $\Dthm$.

Une na\"ive tentative d'éliminer tout-de-go $\Dthast$, donne~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
(\;\mu k +\bra{\frac{1}{n}}(P-A)\ket{1} -\bra{\frac{1}{n}}(P-A)\ket{1} \;)\Dthm\\
=\mu k\Dthm=\;\bra{\frac{1}{n}}\Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}-\bra{\frac{1}{n}}(P-A)(\mu k I +P-A)^{-1}\Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}
\end{split}
\label{mean1}\end{equation}
%
Le troisième facteur suivant le terme d'inertie $+\bra{\frac{1}{n}}(P-A)\ket{1}$ est donc
attribuable au L-R et annule le second terme. De même, la somme
des perturbations nettes par couche $\bra{1}\Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}$ est le perturbation globale entrant
dans le système à L-R fixé ($\Dthast=0$), augmentée de l'effet des perturbations ayant provoqué un L-R.

A l'équilibre~($\mu=0$), le système dégénère en $0\Dthm=0$, c'est le genre de problème
qu'on rencontre singulièrement avec les modèles de moyenne. Pour obtenir ce modèle à l'équilibre,
on peut récrire le système $\Dthast +\ket{1}\Dthm=(\mu k I+P-a)^{-1}\Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}$
et sommer pour obtenir
%
\begin{equation}
 \Dthm=\bra{\frac{1}{n}}(\mu k I+P-A)^{-1}\Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}\; .
\label{meanres}\end{equation}
%
La perturbation moyenne est alors une moyenne des perturbations, ce qui ne nous apprend pas grand
chose.
%
\paragraph{Le jeu trouble de la moyenne, deuxième}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On définit cette fois la moyenne en l'associant à une variable de Lagrange contraignant les anomalies
à être de somme nulle~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu k I +P-A)(\Dthast+\ket{1}\Dthm) &= \Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}\\
0\;\Dthm \;=\;\bra{\frac{1}{n}}\Dthast
\end{array}
\right.
\label{statm2}\end{equation}
%
technique que nos lecteurs reconnaitront~(cf Matriochka). L'équation singulière attachée à $\Dthm$,
lorsque l'on y élimine $\Dthast$ connue de la première, réintroduit en effet la moyenne et on trouve
le même résultat~(\ref{meanres}) que précédemment. Introduisons un effet-en-retour en posant
comme d'habitude $A=A^\flat +\ext{b}{c}$ et en prenant $\Delta F_{\mbox{\tiny{ext}}}=\ket{b}\varpi$
comme perturbation~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu k I +P-A^\flat)(\Dthast+\ket{1}\Dthm) &= \ket{b}(\Dths+\varpi)\\
0\;\Dthm \;=\;\bra{\frac{1}{n}}\Dthast\\
\Dths=\bra{c}\Dthast + \Dthm
\end{array}
\right.
\label{effetm3}\end{equation}
%
On se retrouve avec un effet-en-retour dépendant d'un mécanisme intermédiaire, comme
dans l'annexe A~(cf~\ref{sysx}). L'élimination de $\Dthast$ donne le système couplant
les deux variables scalaire~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
\Dthm +\bra{\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}\Dths =\bra{\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}\varpi\\
(-1+\scal{c}{1})\Dthm+(1-\bra{c}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b})\Dths\\
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\;\bra{c}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}\varpi
\end{array}
\right.
\label{effetm4}\end{equation}
%
On remarque que l'équation de $\Dths$ se découple alors de $\Dthm$, puisque $(-1+\scal{c}{1})=0$, et
on retrouve le gain classique attaché à $\Dths$. Mais conservons cependant cette somme, $\bra{c}$
marquant ``ce qui est passé par $\Dthast$'', en éliminant $\Dthm$; on obtient
%
\begin{equation*}
\begin{split}
-(-1+\scal{c}{1})\bra{\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}+(1-\bra{c}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b})\Dths\\
\quad=\;\bra{c}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}\varpi-(-1+\scal{c}{1})\bra{\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}\varpi
\end{split}
\end{equation*}
%
et enfin, en regroupant ces termes en $\bra{c}$~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
(1-\bra{c-\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}-\bra{\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b})\Dths\\
\quad=\;\bra{c-\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}\varpi+\bra{\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}\varpi\\
\quad=\;\bra{c}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}\varpi
\end{split}
\label{effetm5}\end{equation}
%
Cet exercice nous donne a) un gain globalement inchangé --- ce qui est raisonnable si ce dernier système
est mathématiquement équivalent à l'originel; b) une sparation possible en deux ``sous-gains''
%
\begin{equation}
\begin{split}
g_{\mbox{\tiny{L-R}}}&=\bra{c-\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b}\\
g_m&=\;\bra{\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat)^{-1}\ket{b})
\end{split}
\label{gainsm5}\end{equation}
%
le gain $g_m$ est pris d'une moyenne de températures perturbées, et le premier fait apparaître
la matrice-ligne
%
\begin{equation}
\bra{c-\frac{1}{n}}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{n},&-\frac{1}{n},& ... &,\frac{n-1}{n}\end{bmatrix}=\bra{\gamma}
\label{gainsm}\end{equation}
%
qui prend ainsi la différence entre l'effet de $\Dths$ et la moyenne de l'effet des autres; il s'agit
d'une définition possible du L-R, on peut donc lui attribuer ce sous-gain ! On ne peut qualifier
ces machins que de sous-gains, puisqu'ils apparaissent ou disparaissent ensemble par
annulation de $\ket{b}$. Alternativement, on pourrait choisir dannuler $\bra{\gamma}$, et il faudrait
alors prendre $\bra{c}=\bra{\frac{1}{n}}$, \cad définir comme variable-jauge la moyenne !

Globalement, on a décomposé $\ext{b}{c}$ en $\ext{b}{\gamma}+\ext{b}{\frac{1}{n}}$.
Ces résultats peuvent dès lors se décliner en flopant la Woodbury avec cette matrice de base
$A_0=\mu k I+P-A^\flat$~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
g^\ast_{\mbox{\tiny{L-R}}}&=\bra{\gamma}(\mu k I +P-A^\flat-\ext{b}{\frac{1}{n}})^{-1}\ket{b}\\
&=\bra{\gamma}\left[ A_0^{-1}+\frac{A_0^{-1}\ext{b}{\frac{1}{n}}A_0^{-1}}{1-\bra{\frac{1}{n}}A_0^{-1}\ket{b}}\right]\ket{b}\\
&= g_{\mbox{\tiny{L-R}}}(1+\frac{g_m}{1-g_m})=\frac{g_{\mbox{\tiny{L-R}}}}{1-g_m}
\end{split}
\label{gainglr}\end{equation}
%
et de même pour $g^\ast_m$~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
g^\ast_m&=\bra{\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat-\ext{b}{\gamma})^{-1}\ket{b}\\
&=\bra{\frac{1}{n}}\left[ A_0^{-1}+\frac{A_0^{-1}\ext{b}{\gamma}A_0^{-1}}{1-\bra{\gamma}A_0^{-1}\ket{b}}\right]\ket{b}\\
&= \frac{g_m}{1-g_{\mbox{\tiny{L-R}}}}
\end{split}
\label{gaingm}\end{equation}
%
qui tous deux prennent donc la forme standard de gains inclusifs.
Sous la forme réponse, on aurait coupé l'effet-en-retour en deux termes~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
\rho=&\quad\rho_m\;+\;\rho_{\mbox{\tiny{L-R}}}\\
=&\bra{\frac{1}{n}}(\mu k I +P-A^\flat-\ext{b}{c})^{-1}\ket{b}\\
&\quad\quad+\;\bra{\gamma}(\mu k I +P-A^\flat-\ext{b}{c})^{-1}\ket{b}
\end{split}
\label{effetmlr}\end{equation}
%
Faut reconnaitre que ça a de la gueule, mais a-t-on pour autant débusqué ce fameux modèle de base ?
Écrivons ce modèle de v-lapsus~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu k I +P-A^\flat-\ext{b}{\frac{1}{n}})\Deta &= \ket{b}(\Dth_s^\ast+\varpi)\\
\Dth_s^\ast=\bra{\gamma}\Deta
\end{array}
\right.
\label{lrmod}\end{equation}
%
Le v-lapsus de surface $\Dth^\ast_s$ ne change pas si on perturbe $\Deta\rightarrow\Deta+\ket{1}\epsilon$,
et on peu vérifier que les termes en $\epsilon$ s'annulent en effet lors de l'élimination de $\Deta$
perturbé. On a donc bien un modèle avec rétroaction pure de v-lapsus. Mais comme on l'a
déjà remarqué, le modèle de base ne peut se définir par suppression de ce seul L-R. Il faut quand mème
supprimer les autres~: retour à la  case départ, {\it en notant cependant qu'on a une candidate
pour décomposer une fonction de rétroaction ``passant ou pas'' par le L-R.}

%
\paragraph{Le jeu trouble de la moyenne, troisième}\label{trois}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Repartons de PRP~: le modèle de base est purement radiatif et il répond par $\Deta=\ket{1}x$.
Quelque chose du genre
%
\begin{equation}
P\Deta=\DFext \Rightarrow \Deta=\ket{1}x\; ;
\end{equation}
%
á l'équilibre, qui n'a de solution que pour une unique direction de $\DFext$.
Il faut clairement imaginer un mécanisme supplémentaire --- mettons $\Dfi$ ---
qui donne une telle solution. On aurait $P\ket{1}x=\DFext+\Dfi=P\Deta+\Dfi$ d'où à choisir
$x$ fonction scalaire arbitraire de $\Deta$ pour ce mécanisme~:
%
\begin{equation}
\Dfi=P\ket{1}x-P\Deta\; ;
\end{equation}
%
Prenons $x$ comme moyenne verticale des températures ($x=\Dthm=\bra{\frac{1}{n}}\Deta$).
On est conduit à examiner un système
ou la modification du modèle de base est compensée par une rétroaction, comme ça~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
\left[\mu K +P(I-\ext{1}{\frac{1}{n}})\right]\Deta &= -P\ket{1}(\Dthm+\varpi)\\
\Dthm=\bra{\frac{1}{n}}\Deta\;,
\end{array}
\right.
\label{base}\end{equation}
%
système mathématiquement quasi équivalent au système originel, à un bémol près que nous allons
expliciter.
Remarquons que la formulation dépend du profil de base adopté, ici $\ket{\pi_0}=\ket{1}x$,
mais le système obtenu posera les mêmes problèmes. Problème, car à l'équilibre, le système
de base est défini par une matrice singulière --- en effet
$\; \det(I-\ext{1}{\frac{1}{n}})=\det(1-\scal{\frac{1}{n}}{1})=0$, et tout vecteur $\ket{1}x$ est
dans son noyau. Mais hors d'équilibre, on aurait
%
\begin{equation}
g_\chi=-\bra{\frac{1}{n}}\left[\mu K +P(I-\ext{1}{\frac{1}{n}})\right]^{-1}P\ket{1}
\end{equation}
%
qui par la magie du Woodbury-feedback se transforme en~:
%
\begin{equation}
g_\chi=-\frac{\bra{\frac{1}{n}}(\mu K +P)^{-1}P\ket{1}}{1-\bra{\frac{1}{n}}(\mu K +P)^{-1}P\ket{1}}
\end{equation}
%
On peut déjà tirer une leçon de l'exercice, qui est que le système modifié
introduit une matrice singulière qui rend l'analyse par le gain scabreuse à l'équilibre. Par contre,
la réponse globale est~:
%
\begin{equation}
\sigma=1+\rho_\chi(\mu)= (1-\bra{\frac{1}{n}}(\mu K +P)^{-1}P\ket{1})\varpi(\mu)\;,
\end{equation}
%
réponse du sytème à une perturbation de sa valeur moyenne.
Alors, prenant le système de base, on peut toujours définir une perturbation $-P\ket{1}\varpi(\mu)$
et considérer la réponse de la valeur moyenne à cette perturbation, on trouvera ce même $\rho_\chi(\mu)$,
et par extension au SLTC~:
%
\begin{equation}
\rho_\chi(t)= -\bra{\frac{1}{n}}\int_0^t\Phi(t,\tau)P(\tau)\ket{1}\varpi(\tau) d\tau\; .
\end{equation}
%

Bien reprenant notre SLT, une impulsion appliquée initialement à
cette valeur moyenne ($\varpi(\mu)=1$) donne asymptotiquement une réponse globale nulle ($1-1$).
La réponse à un forçage perpétuel aussi. Bon me direz-vous, c'est normal, puisqu'on n'a pas
globalement modifié le système ! On a créé une rétroaction qui s'oppose à une réponse différente
du système modifié, c'est pas mal, non ?

On peut le voir autrement~: si on pouvait supprimer
cette rétroaction, \cad faire $P\ket{1}=0$ dans le système~(\ref{base}), on pourrait ajouter
à $\Deta$ une perturbation homogène ($\Deta+\ket{1}x$) sans changer le terme de gauche de l'équation
de $\Deta$ à l'équilibre, grâce à la singularité. La rétroaction s'oppose à ce changement, et comme
$P$ est non-singulière, on ne peut de toute manière annuler cette rétroaction, qui met en jeu
la somme des sensibilités des couches à chacune des autres.

Bref, on a trouvé un pseudo-mécanisme qui s'oppose au changement de la moyenne, mais ce qu'on cherche,
n'est-ce pas au contraire un mécanisme qui s'oppose au changement de L-R ? On voit bien que la question est
de nature différente, car s'il n'existe qu'une direction de perturbation à L-R nul, on a une infinité
de L-R non nuls. {\it Mais il faut remarquer que notre recherche est passée de la quête d'un système de base
donnant un certain profil comme solution à l'équilibre, à celle d'un système {\bf insensible à une
modification de la perturbation}.} 

N'y-a-t-il pas derrière tout ça une sorte de développement de profils en fonctions
de base ($\frac{1}{|\Deta|}\Deta=a_0 f_0+\sum a_i f_i$), avec $f_0$ de direction la diagonale principale
de l'espace de phase  $\ket{1}$ ?

On pourrait tenter de construire une série de vecteurs $P^{-1}-$orthonogonaux~:\\
$\bra{f_i}P^{-1}\ket{f_j}=\delta_{ij}\alpha_i$, en tirant partie des propriétés de $P$.
En effet, par ciel clair, la faible épaisseur optique de l'atmosphère permet d'affirmer que
$P$ est diagonale dominante à diagonale positive. Elle n'a aucune raison d'être symétrique en raison
de la décroissance de $T$, mais on peut en prendre la partie symétrique $P_s=\frac{1}{2}(P+P^\dagger)$
et laisser de côté sa composante anti. Alors $P_s$ est symétrique et strictement définie-positive~:
on peut décomposer $P_s=\sum_i \frac{1}{\alpha_i}\ext{f_i}{f_i}$ avec des poids positifs.
La réponse à chaque ``mécanisme radiatif $\ket{f_i}$'' perturbant avec ce profil est
%
\begin{equation}
1+\rho_i = 1-\bra{f_i}(\mu K+P_s)^{-1}\ket{f_i}\;,
\end{equation}
%
\cad que ce mécanisme s'oppose à cette perturbation, mais on peut remarquer que chaque
''matrice de base'' est singulière, car $(P_s-\frac{1}{\alpha_i}\ext{f_i}{f_i})\ket{P_s^{-1} f_i}=0$.
{\it 3 décembre~: suivaient des considérations sans suite ... La suite est à présent plus bas.}

On garde cependant l'exercice suivant. On considère un système où on coupe $P$ en deux, avec
des poids $\alpha P + (1-\alpha)P$, et on analyse en SVD~: $P=UwV^\dagger$. A l'équilibre, on obtient
%
\begin{equation}
\begin{split}
1-\bra{c}P^{-1}\ket{b}&\;=1-g\;=\\
1-&\frac{1}{\alpha}g-\frac{(1-\alpha)^2}{\alpha}\sum\frac{w_i}{\alpha(w_i-1)-1}\bra{c}P^{-1}\ext{u_i}{v_i}P^{-1}\ket{b}
\end{split}
\end{equation}
%
\cad qu'on a simplement décomposé un gain en contributions pondérées, avec un poids pouvant varier
de $0^+$ à 1.
{\bf Et alors\footnote{Il y a encore la définition d'un  modèle
de la moyenne comme dans {\bf première} qui consiste à régulariser le système des anomalies
en éliminant le terme en $\mu k \Dthm$ et en supprimant une ligne, mais ça ressemble au système
en annexe B et comme je ne trouve pas de notation satisfaisante pour traiter des sous-matrices et
sous-sommes de lignes ou colonnes, je laisse de côté cet exercice.} ?}
%
\paragraph{Conclusions de l'exercice}\label{prp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Il y a peut-être dans la discussion qui précède moyen de faire des choses, mais il me semble
finalement que le problème est mal posé.  Notre point de départ est une pratique~(PRP) qui
définit pragmatiquement ce gain de L-R, mais pourquoi ?
On se fourvoie dans ce problème par notre absence aux discussions qui ont mené à cette pratique.

Je fais l'hypothèse que la {\bf question initiale} était la suivante. Considérons la rétroaction WV~: elle
est associée, certes, à une redistribution de Q, mais de manière évidente également en T. Alors,
des profils obtenus à l'équilibre, comment séparer ce qui est effectivement dù à WV de ce qui est une
réponse purement radiative ? Je pense que devant l'impossibilité de répondre avec justesse, on a
trouvé un compromis qui a le mérite de la simplicité~(une des règles de Charney), à savoir~: attribuer
à cet effet de base~(Planck) la réponse par ciel inchangé à L-R constant\footnote{reportons
la question du ciel clair ou pas.}, la différence
étant attribuée au WV. Si nous pouvons faire avancer l'analyse, la question du L-R fb est alors
tout autre~:
%
\begin{itemize}
\item le modèle de base purement radiatif est
\begin{equation}
K\partial_t\Deta_0=-P\Deta_0 \;\;[+\DFext]
\end{equation}
 (n'est-ce pas évident ? réponse~: non, cf plus bas {\it additions});
\item pour une perturbation $\DFext$, le profil de base est $\Deta_0=P^{-1}\DFext$, la réponse
purement radiative à l'équilibre. Dans une analyse de rétroaction, elle est ainsi\\
 $\Deta_0=(\mu K+P)^{-1}\ket{b(\mu)}\varpi(\mu)$, en attribuant volontairement l'inertie atmosphèrique
à cette réaction purement radiative, car elle n'est ni plus ni moins physiquement évitable;
\item du point de vue du modèle, on peut certainement répondre aux questions posées, mais~:
\item comment améliorer l'analyse d'une simulation PRP {\bf évitant} la réponse par le Lapse-Rate ?
\end{itemize}
%
c'est à cette grande \oe uvre que nous allons à présent nous atteler.

\bigskip
\hrule

\smallskip
{\it{\bf addition suivant discussion avec JLD du 11-12-08}\hspace{0.5cm} Les climatologues attribuent
au L-R une certaine importance a priori. Voilà comment je réinterprète la chose~: {\bf a)} la décroissance de
T(z) explique le comportement du réchauffement climatique, cf modèle du $z_{eq}$ dans EPL, à savoir
qu'une remontée du niveau d'émission équivalente $z_{eq}$ diminue l'OLR à profil donné, menant finalement
au gain négatif du WV\footnote{voir par exemple Schneider {\it etal, jas} 99.}; {\bf b)} en l'absence d'eau, ``l'ajustement sec'' se traduit par cette conservation
de la valeur du gradient vertical. On peut alors concevoir que ce ``modèle de base'' recherché comporte
non seulement la partie Planck (et l'inertie), mais en plus un modèle d'ajustement sec (comme ce mécanisme
supplémentaire envisagé dans la moyenne troisième page~\pageref{trois}). Du coup, ma proposition serait
que~:
%
\begin{itemize}
\item le modéle de base est bien représenté par $\mu K+P$, inertie et Planck, et un profil
à l'équilibre associé $\DT_0(z)$;
\item on a une rétroaction ``planétaire'' liée à l'ajustement sec~($\rightarrow$ profil $\DT_s$);
\item le profil de $\DT_s(z)$ --- résultant des deux précédents mécanismes se trouve être
grossièrement celui de l'équilibre radiatif pour les planètes ``sèches'';
\item on suppute ainsi que la perturbation de SST induise du L-R C\textsuperscript{st} en l'absence de WV,
mais c'est difficile à vérifier;
\item d'où il appert que le supplément est alors attribué au WV et au reste;
\item menfin, tout le monde peut se tromper ...
\end{itemize}
%
Du point de vue de nôtre analyse, on ne change ainsi pas de modèle de base, mais on pourra
séparer les effets à L-R C\textsuperscript{st} des gains de rétroaction imputés à WV, cld etc.}

\smallskip

\hrule
\bigskip

%
\paragraph{de la décomposition du modèle de base}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La piste que nous suivons, c'est d'être à même de décomposer un gain ou une réponse en fonction
des ``réponses de base'' de $P$. On a en effet que si $P=U\diag{[w]}V^\dagger$, il est possible d'associer
les composantes de tout forçage dans la base de $U$~: $\DFext=\sum\alpha_i\ket{u_i}$ avec
celles du profil perturbé dans sa base $V$~: chaque forçage de base $w_i\ket{u_i}$ aura comme
solution à l'équilibre $\ket{v_i}$, puisque $P\ket{v_i}=w_i\ket{u_i}$.

Parallèlement, tout gain exclusif  se pourra décomposer en
%
\begin{equation}
g=\bra{c}P^{-1}\ket{b}=\sum \frac{1}{w_i}\scal{c}{u_i}\scal{v_i}{b}
\end{equation}
%
A partir de ces évidences, il est possible de décomposer selon les mécanismes ou les profils
que l'on veut. Par exemple, $\ket{1}$ se projette dans la base $V$, on sait y associer un forçage
dans $U$, et ainsi, pour un forçage donné, son complément à ce qui donne $\ket{1}$, je viens alors
de dire qu'il est possible de donner la composante d'une réponse dûe au L-R, non ?

Et pire, si on a ces poids, on peut donner au GCM le profil du forçage correspondant au L-R bloqué
ou non. Conduisons cet exercice à son terme~({\bf à faire}).
%
\paragraph{de la décomposition de la matrice de base}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On introduit une notation pour l'analyse d'une matrice en ses ``composantes de rétroaction'' ainsi,
pour la matrice de Planck~:
%
\begin{equation}
P=\begin{bmatrix}\bar{P}&,&\ket{\bar{p}}\\\bra{\bar{p}}&,&\bar{p}\end{bmatrix}
\label{ssmx}\end{equation}
%
alors, son inverse est
%
\begin{equation}
P^{-1}=\begin{bmatrix} \bar{P}^{-1}(I+\underline{p}\ext{\bar{p}}{\bar{p}}\bar{P}^{-1}) &,& -\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}\underline{p}\\ -\underline{p}\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1} &,& \underline{p} \end{bmatrix}
\end{equation}
%
où on a noté $\underline{p}=(\bar{p}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}})^{-1}$.

 On peut remarquer l'importance de ce terme $\bar{p}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}$ en analysant
la conséquence d'une perturbation de la SST, en tant que condition limite, comme dans PRP. On perturbe
$\Dth_s=\varpi$, \cad pas comme dans le TEF mais en figeant la SST. Alors,
 $\bar{p}$ est ce qui est émis par cette couche perturbée de 1~K, $\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}$
la perturbation induite sur la température des autres couches, et $-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}$
le rayonnement qui revient à la première, d'où un bilan net~: ce qu'elle émet moins ce qu'elle reçoit.
Et comme ce qu'elle n'as pas reçu et ce que les autres n'ont pas reçu est parti plus haut, on doit
encore trouver que ce bilan est le bilan TOA. Pour le vérififer, calculons ce $\Delta G$. Le profil
de base est donné par
%
\begin{equation}
\begin{split}
\bar{P}\Detab_0+\ket{\bar{p}}\varpi=0\;, \textit{d'oû~:}\\
\Detab_0=-\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}\varpi
\end{split}
\end{equation}
%
Pour le bilan TOA, on a
%
\begin{equation}
\Delta G =\bra{1}P\Deta_0=(\bra{1}\bar{P}+\bra{\bar{p}})\Detab_0 + (\scal{1}{\bar{p}}+\bar{p})\varpi
\end{equation}
%
soit, en remplaçant $\Detab_0$ par sa valeur~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
\Delta G &=(-\scal{1}{\bar{p}}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}} + \scal{1}{\bar{p}}+\bar{p})\varpi\\
         &=(\bar{p}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}})\varpi
\end{split}
\end{equation}
%
Ainsi, perturber seulement la première couche, c'est équivalent à dire que son bilan net est aussi
le bilan net TOA (sortant, comme la convention sur les $\lambda$), et on a
%
\begin{equation}
\boxed{\lambda_P^{PRP}=\bar{p}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}}
\label{lP}\end{equation}
%
(on note PRP, mais en gardant en mémoire que PRP inclue aussi un ajustement sec, à voir plus loin).

$\Box$ On peut expliciter le bra du gain ou de l'effet-en-retour $\bra{c}P^{-1}$ qui est la dernière ligne de $P^{-1}$~:
%
\begin{equation}
\bra{c}P^{-1}=\underline{p}\begin{bmatrix} -\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1} &,& 1 & \end{bmatrix}
\label{ssmxg}\end{equation}
%
%
\paragraph{retour sur le forçage $\DFext$}
\label{retour}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Avec la décomposition de la matrice de base, ici supposée juste $P$, on peut expliciter la
perturbation induite de surface~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
\varpi=\bra{c}P^{-1}\DFext=&\frac{\Delta\bar{f}_{ext}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\Delta\bar{F}_{ext}}{\bar{p}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}}\\
&\textit{soit}\\
(\bar{p}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}})\varpi=&\Delta\bar{f}_{ext}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\Delta\bar{F}_{ext}
\end{split}
\label{forcing}\end{equation}
%
le terme de gauche est le bilan à l'équilibre sortant de la surface dont la température est perturbée de $\varpi$,
résultat du forçage direct de cette couche par $\Delta\bar{f}_{ext}$, dernière composante du forçage, augmentée de l'effet
sur la surface de la perturbation directe de la tropo par $\Delta\bar{F}_{ext}$.

Mais en adoptant cette perturbation induite, on ne tient pas compte du forçage direct sur la tropo, alors la question
se pose de l'incidence sur la rétro WV de cet effet, non ? Et pourtant, avec ce choix de la perturbation, on obtient
bien la réponse du système complètement forcé, alors ?

On va ré-explorer le rôle du forçage, en écrivant d'abord la réponse de base forcée par
les flux~($\ket{b}=0$)
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
(\mu K+P-A^\flat)\Deta_0  =  \Delta F_{ext}\\
\Dth_0 = \bra{c} \Deta_0
\end{array}
\right.
\label{force0}\end{equation}
%
et le système rétroaction dans lequel on pose $\Deta=\Deta_0+\Deta^r$~(``r'' pour~: effet-en-retour)
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
(\mu K+P-A^\flat)(\Deta_0+\Deta^r)  =\; \ket{b}(\Dth_s+\Dth_0) +\Delta F_{ext}\\
\Dth_s = \bra{c} \Deta^r
\end{array}
\right.
\label{force1}\end{equation}
%
on remarque que $\Dth_s$ est ainsi défini comme effet-en-retour, \cad l'excès de température de surface
par rapport au forçage induit $\Dth_0$, qui bien que introduite par le changement de variables
va représenter la perturbation pour le système suivant.

En soustrayant~(\ref{force0}) de~(\ref{force1}), on élimine
$\DFext$~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
(\mu K+P-A^\flat)\Deta^r  = \;\ket{b}(\Dth_s+\Dth_0)\\
\Dth_s = \bra{c} \Deta^r
\end{array}
\right.
\label{force2}\end{equation}
%
Alors, ce système des excès au modèle de base a les mêmes jacobiennes que le système originel
et conduit ainsi aux mêmes gains et réponses à une perturbation linéaire; l'obtention des composantes
de $\Dth_s$ est liée à la seule réponse de base soumise à $\Delta F_{ext}$, qui dépend de toutes
ses composantes. Ainsi, l'intérêt de l'introduction de cette notion de réponse de base apparaît
comme découplant les calculs, l'un lié au forçage dans sa généralité et donnant une base, l'autre
fournissant les caractéristiques standards de rétroaction\footnote{mais il nous faut admettre que si
nous effectuyons le calcul de ce $\Dth_s$, il nous fournirait une température qui ajoutée 
à $\Dth_0$ est la réponse surface à $\DFext$~: ce n'est pas la composante inclusive ! ceci est
à rapprocher de nôtre déception à trouver cette même composante avec une seule boucle de rétroaction.
{\bf mais, attention !} on peut définir cette composante inclusive comme liée à $\DFext$}, faut pas
être sectaire !.

En pratique, un calcul de trajectoire fournit ces caractéristiques, mais il faut deux autres ingrédients
pour évaluer les CIR~:
%
\begin{itemize}
\item un calcul (optionnel) de $\Deta,\Dth_{tot}$, qui se peut faire en appliquant la source
$\DFext$ au SLTC --- puisque $\Deta_{tot}(t)=\int_0^t\Phi(t,\tau)\DFext(\tau)d\tau$;
\item la réponse$\Dth_0$ de la base est donnée par soustraction à la prédédente
$\Deta_{0}(t)=\int_0^t\Phi(t,\tau)(\DFext(\tau)-\ket{b}\Dth_0(\tau))d\tau$, d'où le système à intégrer
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
K\partial_t\Deta_0  = -(P-A)\Deta^0+\DFext\;-\ket{b}\Dth_0\\
\Dth_0 = \bra{c} \Deta_0
\end{array}
\right.
\label{force3}\end{equation}
\end{itemize}
%
on pourra alors vérifier que la somme des $\Dth_i$ égale $\Dth_{tot}$.
Une {\bf question amusante} concerne le calcul du modèle de base, lié à $\ket{p}$, dernière colonne de $P$
 --- du fait
qu'alors $\Dth_{tot}=\bra{c}\int_0^t\Phi(t,\tau)\ket{p+\sum b_i}(\tau)\varpi(\tau)d\tau$ par principe
d'exhausivité, ce qui semble dire que cette perturbation hypothétique $\varpi(\tau)$, qui solliciterait
la réponse d'un ``modèle sans aucune rétroaction'' (sans Planck donc), n'est pas innaccessible, en intégrant
un système du type base avec $-\ket{b}\Dth_0\rightarrow -\ket{p+b}\varpi$.

On aura ainsi pour $p$ rétroactions,
$p+2$ SLTC à calculer dont l'un donne $\Dth_0(t)$, un autre $\Dth_{tot},$ et les $p$ standards
permettant de partager cette réponse globale en CIR.

Il va de soit encore que la structure du système doit permettre de séparer les $\ket{b_i}$ et éventuellement
ce $\ket{p}$ supplémentaire. Comment celà se traduit-t-il par exemple dans ClimSI ?

{\bf On peut remarquer que cette belle procédure ne résoud pas le problème du forçage par $2\times CO_2$ !}
Sauf à calculer $\Delta F_{ext}=(P_{2\times CO_{2}}-P_{1\times CO_{2}})\eta(z)$, ce qui exige que le modèle
de climat définisse les échanges par ciel clair --- comme les AGCM.

\paragraph{Différence de Gâteaux finie} Pour calculer $\Deta^r$ par différence, il faudra faire la différence
{\bf call convec}$(T+\Deta_0)-(T)$ en parallèle à~(\ref{force1}), d'accord ? Mais du coup, on récupère
aussi toutes les anomalies des champs en sortie. D'où remise sur la table de la question de que faire
de cette information. Prenant l'imbroglio du cld fb par exemple, on doit pouvoir tout dire, alors
que par le TEF, en supposant un modèle d'unicolonne jacobiennisé, comment définir la rétroaction nuages
à partir de $\Dth_s+\varpi$, quand les nuages ne sont pas directement dépendants de la surface ?
Bref, c'est ce terme $\ket{b}\varpi$ qui me taquine, parce qu'il est de portée verticale directe
très limitée\footnote{bien que $\ket{b(\mu)}$ soit le résultat d'une élimination --- de $Q$ par exemple.}.
Quand on perturbe le mécanisme-source de rétroaction WV dans ClimSI, on perturbe
toute la colonne.

Pour analyser cette contradiction, on considère encore~(\ref{force1})~:
%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
(\mu K+P-A^\flat)(\Deta_0+\Deta^r)  =\; \ket{b}(\Dth_s+\Dth_0) +\Delta F_{ext}\\
\Dth_s = \bra{c} \Deta^r
\end{array}
\right.
\end{equation*}
%
on a conclu que de forcer avec $\DFext$ et voir les différences avec $\ket{b}$ nul ou pas, 
c'est comme ne plus forcer mais regarder les différences entre $\theta_s$ perturbée ou pas
par $\Dth_0$; ainsi donc, $\Deta_0$ n'intervient pas en tant que perturbation. Par contre, si on
anulle $\ket{b}$ et $A^\flat$ en même temps, \cad on ``bloque la convection'', il faut appliquer
$\Deta_0$ pour virer $\DFext$. Alors, comment justifies-tu ton $+\ket{1}$ ? Avais-tu essayé un simple
$+1$ sur le premier niveau ?

Sinon, on peut en effet prétexter de la singularité numérique pour expliquer le $+\epsilon\Deta_0$,
sachant qu'alors le gain TEF correspondant est modifié par ``l'effet indirect''~:
%
\begin{equation*}
\begin{split}
g^{tot} &= g^\ast \;+ g^{ind}\quad\textit{avec, si}\; A^\flat_i=L_iR^\flat_i\quad\textit{et}\;\;M=\mu K+P-A^i\; :\\
g^{ind} &= \bra{c}M^{-1}L_i(I-R_i^\flat M^{-1}L_i)^{-1}R_i^\flat M^{-1}\ket{b}                
\end{split}
\end{equation*}
d'après la formule~(\ref{sysx2y}).

Il faudra vérifier que la G-diff finie est linéaire par, si on suit Cacuci 81,
%
\begin{enumerate}
\item  $\xi(t+dt)=\mathcal{N}(\xi(t),\DFext(t))$ faiblement Lipschitz (à l'équilibre par ex);
\item $\mathcal{N}(\xi(t)+\epsilon\Deta_1+\epsilon\Deta_2)-\mathcal{N}(\xi(t)+\epsilon\Deta_1)-\mathcal{N}(\xi+\epsilon\Deta_2)+\mathcal{N}(\xi(t))=o(\epsilon)$;
\end{enumerate}
%
où comme on le devine, l'opérateur numérico-fortran $\mathcal{N}$ représente l'avance d'un pas
de temps de la ``Physique'' sur toutes les variables disponibles $\xi$. Ce qui devrait fixer-justifier un
bon $\epsilon$ numérique d'accroissements finis.
Mais en tant que physichiens, on pourra argumenter que celà ne se doive vérifier a) que pour les variables d'état et
b) que pour l'ensemble des $\Deta_i$ constituant les rétroactions à perturber ?

En tout cas, on trouve la juste perturbation $\Deta_0$ à appliquer, qui est la réponse de base du système à $\DFext$,
ou au $2\times CO_2$.
%
\paragraph{analyse de la PRP}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On vient déjà de voir que la PRP change les CL (la SST), au lieu de lui faire subir une perturbation,
 ce qui se traduit
par l'annulation de $\bra{\bar{p}}$ et de $\bar{p}$, c'est bien ce que signifie l'hypothèse du ``tout
passe par la surface''~: elle ne dépend que de la perturbation, pas de l'effet induit sur elle par
le reste du système. Mais qu'en est-il du profil de base $\Detab_0$~? Il ne dépend pas des grandeurs
annulées précédemment évoquées; alors, si on attribue à $\varpi$ la valeur finale et globale $\Dth_s$,
le profil de base trouvé sera correct, et on pourra calculer le $\Delta G_P$ avec ce profil !

Il suffit ainsi dans la PRP de calculer cette matrice de
Planck $P$, comme le proposent L\&C d'ailleurs, pour avoir ce profil de base correct, effectuer
la calcul du bilan TOA et obtenir le facteur $\lambda_P$ correct --- et ainsi abandonner le L-R.

Poursuivons l'analyse PRP du WV, en acceptant la méthode de Zhang basée sur les régions ne mettant en
\oe uvre que cette rétroaction (ciel clair, pas d'effet albedo ...), et alors $A$ ne représente que les mécanismes
du WV.
La réponse au changement de la SST est 
%
\begin{equation}
\Detab=-(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}}\varpi
\end{equation}
%
Attention à présent, car le bilan TOA est
$\Delta G_{tot}=\bra{1}(P-A)\displaystyle\begin{bmatrix}\Detab\\\varpi\end{bmatrix}$;
on a en effet dans la matrice $A$ des échanges matériels qui vont s'annuler dans la somme, ne laissant que
les fuites radiatives (LW et SW) dûes à WV. On obtient alors le bilan global lié à $\lambda_P+\lambda_{WV}$~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
\lambda_P+\lambda_{WV}=& -\bra{1}(\bar{P}-\bar{A})(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}} + \scal{1}{\bar{p}-\bar{a}}\\
                       &-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}} + \bar{p}-\bar{a}
\end{split}
\end{equation}
%
soit~:
%
\begin{equation}
\boxed{
\lambda_P+\lambda_{WV}=\bar{p}-\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}}
}\label{lambda1}\end{equation}
%
On a encore cependant
%
\begin{equation}
\begin{split}
\lambda_P+\lambda_{WV}  =&\bar{p}-\bra{\bar{p}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}\\
                        +&\bra{\bar{p}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{a}}+\bra{\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}-\bra{\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{a}}-\bar{a}
\end{split}
\end{equation}
%
comme il nous faut enlever $\lambda_P$, on développe le premier terme avec $\bar{A}=\bar{L}\bar{R}$
%
\begin{equation}
\begin{split}
\bar{p}-\bra{\bar{p}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}=&\bar{p}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}\\
                                                         &-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\bar{L}(I-\bar{R}\bar{P}^{-1}\bar{L})^{-1}\bar{R}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}
\end{split}
\end{equation}
%
dont la première ligne est $\lambda_P$. Il reste alors~:
%
\begin{equation}
\boxed{\begin{split}
\lambda_{WV}^{PRP}=&\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{a}}+\bra{\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}\\
&-\bar{a}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\bar{L}(I-\bar{R}\bar{P}^{-1}\bar{L})^{-1}\bar{R}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}
\end{split}
}\end{equation}
%

\smallskip
$\Box$ Pour la comparaison avec le TEF, on va plutôt comparer les réponses globales à l'équilibre. On a pour
le TEF, en prenant comme dénominateur commun\\          -
 $\displaystyle\frac{1}{\underline{p-a}}=\bar{p}-\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}}$~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
\sigma=1+\varrho=&1+\bra{c}(P-A)^{-1}\ket{b}\\
      =&\frac{\bar{p}-\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{b}}+b_n}{\bar{p}-\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}}}\\
\sigma^{TEF}=&\frac{\bar{p}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}}{\bar{p}-\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}}}\quad(\textit{si }\ket{b}=\ket{\bar{a}})
\end{split}
\label{sigtef}\end{equation}
%
Pour PRP, on a $\sigma=\displaystyle(\frac{\lambda_P}{\lambda_P+\lambda_{WV}})^{PRP}$, soit~(cf \ref{lP} et \ref{lambda1})~:
%
\begin{equation}
\sigma^{PRP}=\frac{\bar{p}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}}{\bar{p}-\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}}}
\end{equation}
%
On a les mêmes dénominateurs ! C'était pas évident, et c'est le calcul radiatif qui restore la présence
de $\bra{\bar{p}}$ et $\bra{\bar{a}}$ évacués par la prise de conditions limites de la SST.

Au numérateur, on peut penser prendre $\ket{\bar{b}}=\ket{\bar{a}}$ selon le princique que seul le WV est
ici présent commme mécanisme de rétroaction, de même $b_n=\bar{a}$, ce qui simplifie une partie du numérateur,
cf 3\textsuperscript{ième} ligne de~(\ref{sigtef}) si
bien qu'il reste à comparer $\bar{p}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}$ de PRP avec
$\bar{p}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}$ du TEF. Sont pas formellement si éloignés, mais
la différence semble tenir au rôle de la perturbation de base selon chacun.

Faisons apparaître la partie PRP dans l'autre~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
\bar{p}-&\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}=\\
      =&\bar{p}-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}} -\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\bar{L}(I-\bar{R}\bar{P}^{-1}\bar{L})^{-1}\bar{R}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}+\bra{\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}
\end{split}
\end{equation}                                         
Le résidu comporte ainsi deux termes liés à la perfection des couplages dans le TEF~\ironie
%
\begin{itemize}
\item un terme de couplage radiato-convectif $\bra{\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}$, qui donne le retour
sur $\Dth_s$ par couplage convectif avec les autres couches, de la pertubation radiative induite sur elles par celle de la SST, et
\item  un terme de couplage
radiatif-radiatif par l'intermédaire d'une rétroaction convective~: $-\bra{\bar{p}}\bar{P}^{-1}\bar{L}(I-\bar{R}\bar{P}^{-1}\bar{L})^{-1}\bar{R}\bar{P}^{-1}\ket{\bar{p}}$,
qui donne le retour radiatif d'une même perturbation induite radiativement par $\Dth_s$ soumise à la rétroaction des
autres couches, avec intervention de cette ``matrice des gains convectifs''~: $\mathcal{G}=\bar{R}\bar{P}^{-1}\bar{L}$. 
\end{itemize}
%
On peut en conclure plus précisément que PRP rate $\lambda_P$ tout en évaluant correctement $\lambda_P+\lambda_{WV}$~!
Il fait donc porter à WV une partie de P, ce qui n'est pas san rapeller encore l'intervention du L-R~\ironie

Donnons les expressions correctes par le TEF des $\lambda$~:
%
\begin{equation}
\boxed{\begin{split}
\lambda_P&=\bar{p}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}\\
-\lambda_{WV}&=\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{a}}\\
\lambda_P+\lambda_{WV}&=\bar{p}-\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}}\\
\end{split}
}\label{lambdatef}\end{equation}                                         
%
en notant que le signe de $\lambda_W$ est positif-sortant la TOA, alors que $A$ représente une convergence
dans les couches.

Mais plus important pour la PRP, si on inclue dans le modèle de base un ajustement sec, on rétablit
un couplage convectif dans le calcul de $\lambda_P^{PRP}$ qui peut ressembler à ce que l'on a trouvé
qu'il lui manquait.

Alors, dans l'attente d'erreurs de calculs identifiés, on peut à nouveau être surpris de la pertinence de PRP,
et trouver dans le résidu de quoi tenter de l'améliorer ? Mais il semble difficile de poursuivre l'exercice
sans évaluer numériquement les éléments formellement définis, alors qui et sur quel modèle 1D~?
Et ne pas oublier qu'il nous faut calculer $P$ pour définir un profil de base correct dans les calculs
de type PRP.

\paragraph{reformulation d'un modèle de la moyenne ou équivalent}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Même indépendemment du L-R, il s'agit d'un problème récurrent
d'introduire par changement de variables le système de la moyenne avec ses écarts.
On utilise la matrice de base décomposée pour le faire, donc ici le symbole $\bar{x}$
n'est plus un cumul mais correspond à~(\ref{ssmx})\footnote{le 15 décembre 2008.}.
Dans le traitement donné dans les cahiers
Propagateur, on conservait $\partial_t\overline{\eta}$ dans le système, on propose ici
de remplacer par sa valeur --- c'était le but de la notation des sous-matrices.
Alors, d'un vrai système moyenne + écarts sortira peut-être
quelque vérité formelle sur le L-R ? Mais à l'exercice, on apprend que le traitement de
la moyenne est formellement plus complexe que celui d'une valeur et des écarts à icelle,
c'est donc ce système (température de surface, écarts) que nous traitons, qui lui est
physiquement très proche --- et de plus strictement en rapport avec la définition du L-R.

Pour nous satisfaire, il faut utiliser l'équation de $\Dth_s$ pour enlever du système restant sa
dépendance en $\mu k \Dth_s$, d'accord ? Alors on va le faire\footnote{on a donc
intérêt à reprendre des couches de même inertie $k$.}, mais en utilisant la décomposition
de la matrice de base et ainsi coupler le vecteur $\Dth^\ast$ et la dernière composante de $\Deta\rightarrow\Dth_n$,
avec changement de variable pour les (n-1) premières composantes $\Deta_i=\Dth^\ast_i+\Dth_n$~:
%
\begin{equation}
\mathcal{S}^o\left\{
\begin{array}{c}
(\mu kI+\bar{P}-\bar{A})\Dth^\ast +\mu k\ket{1}\Dth_n+[(\bar{P}-\bar{A})\ket{1}+\ket{\bar{p}-\bar{a}}]\Dth_n=\bar{\DFext}\\
\bra{\bar{p}-\bar{a}}\Dth^\ast +(\mu k +\bar{p}-\bar{a}+\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1})\Dth_n=\Delta f_{ext}\equiv \DFext_{,n}\\
\Dth_s = \Dth_n
\end{array}
\right.
\label{lr4}\end{equation}
%
on a donc conservé la séparation entre la variable perturbée $\Dth_s$ et $\Dth_n$ pour rester proche
du système classique, sans encore préciser $\DFext$. Il reste à soustraire $\mu k\ket{1}\Dth_n$,
terme laissé à part exprès, du système, pour obtenir~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
(M-\ext{1}{\bar{p}-\bar{a}})\Dth^\ast +(\ket{\bar{p}-\bar{a}}+(\bar{P}-\bar{A})\ket{1}-(\bar{p}-\bar{a}+\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1})\ket{1})\Dth_n\\
.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\bar{\DFext}-\ket{1}\Delta f_{ext}\\
\bra{\bar{p}-\bar{a}}\Dth^\ast +(\mu k +\bar{p}-\bar{a}+\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1})\Dth_n=\Delta f_{ext}\\
\Dth_s = \Dth_n
\end{array}
\right.
\label{lr5}\end{equation}
%
avec $M=\mu k I+\bar{P}-\bar{A}$. On s'est alors débarrassé de $\partial_t\Dth_n$ au prix
du changement des matrices, certes, mais sans qu'elles soient pour autant devenues singulières.

Le calcul de $\Dth_n$ fait apparaître un produit que l'on va d'emblée expliciter~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
\bra{\bar{p}-\bar{a}}(M-\ext{1}{\bar{p}-\bar{a}})^{-1}=&\bra{\bar{p}-\bar{a}}[M^{-1}+M^{-1}\frac{\ext{1}{\bar{p}-\bar{a}}}{1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}M^{-1}]\\
                                     =&\left[1+\frac{\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}{1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}\right]\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\\
                                     =&\frac{\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}}{1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}
\end{split}
\label{mxs}\end{equation}
%

On obtient à présent le système effet-en-retour en prenant $\bar{\DFext}=\ket{\bar{b}}\varpi$ et $\Delta f_{ext}\\=\bar{b}\varpi$.
Comme premier système, on fait porter à $\ket{\bar{a}}$ et $\bar{a}$ l'ensemble des rétroactions, soit~:
%
\begin{equation}
\mathcal{S}^\ast\left\{
\begin{array}{c}
(M-\ext{1}{\bar{p}-\bar{a}})\Dth^\ast +\left[\;\ket{\bar{p}}-\bar{p}\ket{1}+(\bar{P}-\bar{A})\ket{1}-\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1}\ket{1}\right]\Dth_n\\
=(\ket{\bar{a}}-\bar{a}\ket{1})(\Dth_s+\varpi)\\
\bra{\bar{p}-\bar{a}}\Dth^\ast +(\mu k +\bar{p}+\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1})\Dth_n=\bar{a}(\Dth_s+\varpi)\\
\Dth_s = \Dth_n
\end{array}
\right.
\label{lr6}\end{equation}
%
qui donne par élimination de $\Dth^\ast$, compte-tenu du résultat~(\ref{mxs})~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
(\mu k +\bar{p}+\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1})\Dth_n=&\\
\frac{\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}}{1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}&(\ket{\bar{p}}-\bar{p}\ket{1}+(\bar{P}-\bar{A})\ket{1}-\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1}\ket{1})\Dth_n\\
                      + &\left[\bar{a}-\frac{\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}}{1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}(\ket{\bar{a}}-\bar{a}\ket{1})\right](\Dth_s+\varpi)\;,
\end{split}
\label{lr7b}\end{equation}
%
On va d'abord traiter ce terme qui tend à l'équilibre vers $\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1}$, à savoir
%
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}}{1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}[\;(\bar{P}-\bar{A})\ket{1}-\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1}\ket{1}]\\
=\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1}\left[1-\frac{\bra{\bar{p}-\bar{a}}[I-M^{-1}(\bar{P}-\bar{A})]\ket{1}}{1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}\right]\\
=\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1}(1-\frac{\Gamma_{LR}}{1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}(\mu)\quad\textit{, avec }\Gamma_{LR}(0)=0\quad ;
\end{split}
\label{sup}\end{equation}
%
alors, en rassemblant-simplifiant, on trouve
%
\begin{equation}
\begin{split}
\left[\mu k +\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1}\Gamma_{LR}(\mu)+\frac{\bar{p}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{\bar{p}}}{1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}\right]\Dth_n\\
         =\quad\frac{\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{\bar{a}}}{1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}}(\Dth_s+\varpi)\\
\end{split}
\label{lr8}\end{equation}
%
ce qui reporté dans l'équation de $\Dth_s$ fournit le gain à l'équilibre~:
%
\begin{equation}
g_\infty=\frac{\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{a}}}{\bar{p}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}}\quad .
\label{g8}\end{equation}
%
Il semble que ce gain soit différent du gain attaché au système originel
%
\begin{equation}
g_o=\bra{c}(P-A+\ext{b}{c})^{-1}\ket{b}=\frac{\bra{c}(P-A)^{-1}\ket{b}}{1+\bra{c}(P-A)^{-1}\ket{b}}\quad ;
\label{g8o}\end{equation}
%
explicitons les inverses en éléments de sous-matrice, mêmes composantes de $\ket{b}$ que précédemment
et à l'aide de la formule~(\ref{ssmxg})~:
%
\begin{equation}
\bra{c}(P-A)^{-1}\ket{b}=\frac{\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{a}}}{\bar{p}-\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}}}
\label{g8o2}\end{equation}
%
qui permet alors d'identifier les deux gains (ouf !) Bon, avec tout ça, on s'est simplement convaincu de
l'identité mathématique des deux systèmes, et on a trouvé une forme supplémentaire pour les gains.
Que dit-elle ?
%
\begin{itemize}
\item le dénominateur $\bar{p}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}$ n'est autre que $\lambda_P$,
à savoir le bilan net de surface; on le redit ici, la perturbation appliquée à la surface provoque un bilan sortant
$\bar{p}$ de la première couche, et détermine à l'équilibre une variation de la température tropo $(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}$;
enfin, la surface reçoit en retour $-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}$~: bilan net. C'est
également le bilan LW TOA sortant;
\item de même, si la matrice $A$ originelle représente tous les processus du WV, le numérateur
$\bar{a}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{a}}$ est ce même bilan pour une perturbation
de ce mécanisme --- bilan entrant, donc $=-\lambda_{WV}$;
\item on a finalement $g_\infty=\displaystyle\frac{-\lambda_{WV}}{\lambda_P}$, expression classique retrouvée ici;
\end{itemize}
%
{\bf La conclusion qui s'impose}, c'est que cette expression du gain par les $\lambda$ est «naturellement» associée à la
forme $\{\Dth^\ast\!, \Dth_s\}$ du système, \cad L-R et $\Dth_s$  alors, que dire de plus sur ce fameux L-R ?

Considérons à présent la forme instationnaire du gain, où rappelons-le tous les termes à l'exception de $P$
ont des coefficients fractions rationnelles\footnote{par le fait que ce système est obtenu par
élimination des autres variables d'état du modèle climatique.} de $\mu$~:
%
\begin{equation}
g(\mu)=\frac{\bar{a}\;-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{\bar{a}}}{\mu k(1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1})+\Gamma_{LR}(\mu)+\bar{p}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{\bar{p}}}
\label{gmu}\end{equation}
%
on a ce terme $1-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\mu k I+\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{1}$ qui vient augmenter l'inertie du
système et qui manifestement implique le L-R ! Il donne en effet le bilan net surface d'une perturbation
$\ket{1}\varpi$ verticalement homogène\footnote{attention cependant, car ce terme $\approx\lambda_{LR}$ est adimensionnel, mais
si on l'interprète en disant que $\ket{1}\varpi$ est un bilan de flux pour une perturbation $\varpi$ de
température, alors il ressemble à ça.}.

On peut encore écrire le gain
%
\begin{equation}
g(\mu) =\frac{\beta_{WV}(\mu)}{\mu k\;\beta^0_{LR}\;(\mu)+\Gamma_{LR}(\mu)-\beta_P(\mu)}
\label{gmu2}\end{equation}
%
avec ces bilans nets de surface $\beta_i$ qui, à l'équilibre, deviennent égaux aux $\lambda_i$. On peut en
déduire la réponse globale --- à comparer avec (\ref{sigtef})~:
%
\begin{equation}
\sigma(\mu) =\frac{\mu k \beta^0_{LR}+\Gamma_{LR}(\mu)-\beta_P}{\mu k\;\beta^0_{LR}+\Gamma_{LR}(\mu)-\beta_P-\beta_{WV}}
\label{sigmu}\end{equation}
%
avec $(-\beta_W-\beta_{WV})=\bar{p}-\bar{a}\;-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\mu k I+\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}-\bar{a}}$,
qui s'identifie avec notre résultat~(\ref{sigtef}) pour $\mu=0$.

Ce $\beta^0_{LR}$ (adim)  s'introduit des équations d'évolution de $\Dth^\ast$ par le fait qu'elles évoluent
{\bf par rapport} à la surface, d'où l'accroissement de leur inertie comparée à celle de $\Deta$.
On peut encore le voir en récrivant le dénominateur
$(\bar{p}+\mu k) -\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\mu k I+\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}+\mu k}$~: le couplage radiatif
``prend de l'inertie''. Quant au terme $\Gamma\approx-\mu k\bra{\bar{p}-\bar{a}}M^{-1}\ket{1}$, il tente à compenser
cette augmentation artificielle  d'inertie précédente.

\bigskip
Alors, dans ce système qui semble pourtant très lié à PRP, le L-R y prend une signification très différente.
%
\paragraph{le L-R d'ajustement sec}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On admet de nouveau à présent (voir la discussion avec JLD) que ce profil de perturbation à L-R constant
des climatologues est le résultat de deux mécanismes couplés~:
les échanges LW et un ajustement sec --- un système où la matrice $A$ représente cet ajustement, avec
%
\begin{equation}
A=\begin{bmatrix}-a&a&0&...&&0\\a&-2a&a&...&&0\\&&&&\\&&&a&-2a&a\\&&&0&a&-2a\\\end{bmatrix}
\label{ajsec}\end{equation}
%
matrice tgridiag~(flux d'en haut nul et flux d'en bas de la première couche, ce qui la rend non-singulière).
Il s'agit simplement d'une matrice de la forme conduction, \cad qu'on peut considérer l'appliquer au gradient
de température virtuelle potentielle, mais en SLT on a $\Delta \theta_v\propto \Delta T$.

L'application de $\varpi=\Delta_{SST}$ à notre système donne
%
\begin{equation}
\begin{split}
(M-\ext{1}{\bar{p}-\bar{a}})\Dth^\ast &=-(\ket{\bar{p}-\bar{a}}-(\bar{p}-\bar{a})\ket{1}+(\bar{P}-\bar{A})\ket{1}-\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1}\ket{1})\varpi\\
&=-(\ket{\bar{p}}+\bar{P}\ket{1})+(\bar{p}-\bar{a}+\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1})\ket{1})\varpi\\
&=-(\ket{\bar{p}}+\bar{P}\ket{1})+(\bar{p}+\scal{\bar{p}}{1})\ket{1}+a)\varpi
\end{split}
\label{lra}\end{equation}
%
puisque par construction on a $\bar{A}\ket{1}+\ket{\bar{a}}=0$, de même $-\bar{a}-\scal{\bar{a}}{1}=a$,
et oû on a pris $M=\bar{P}-\bar{A}$ à l'équilibre. On remarque ainsi que l'ajustement n'intervient que
par les échanges entre la surface et la première couche tropo. De même on peut noter que l'ajustement sec
ne modifie pas les échanges LW au sein de la tropo --- ce qui signifie qu'il ne modifie
pas le L-R dans la tropo\footnote{ce qui provient du fait que $\ket{1}$ est dans le noyau de $\bar{A}$.} !

Pour trouver $\Dth^\ast=0$ (L-R c\textsuperscript{st}), le membre de droite devrait s'annuler.
$\bar{P}\ket{1}+\ket{\bar{p}}$, c'est le bilan LW net émanant de chaque couche de la tropo, et
$\bar{p}-\bar{a}+\scal{\bar{p}-\bar{a}}{1}$ le bilan net des deux flux dans la couche de surface.
Il faudrait que le bilan LW de chaque couche de la tropo soit homogène et égal au bilan surface ---
dans ce cas de couches de mêmes masses.
Il ne peut s'agir que d'une égalité approximative, non ?

On arrive à la conclusion que l'ajustement sec ne répond pas strictement au problème du modèle
de base associé au L-R constant, ou que ce choix infirme l'hypothèse PRP de l'estimation du profil
correspondant au modèle sans rétroaction.
%
\paragraph{analyse des résultats du TEF}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Le bilan associé au modèle de base étant\\ $\lambda_P=\bar{p}-\bra{\bar{p}-\bar{a}}(\bar{P}-\bar{A})^{-1}\ket{\bar{p}}$, il apparait clairement que la réaction
de la tropo à la perturbation radiative et son bouclage sur la couche de surface mettent en jeu les
deux mécanismes P et WV. Alors, deux types de questions se posent~:
%
\begin{itemize}
\item est-ce un modèle de base correct pour aller à la définition de WV ?
\item et si oui, concernant l'application PRP, quel profil associer à P ?
\end{itemize}
%
Pour répondre à la première question, on doit garder en tête la généralisation des définitions d'une
part, et prendre conseil auprès des bons auteurs lorsqu'ils ne sont pas contraints par PRP. Schneider
{\it et al} comme Hall \& Manabe définissent la rétroaction WV en calculant une trajectoire à WV coupée
qui laisse tous les mécanismes libres à l'exception des calculs radiatifs, qui eux sont effectués avec
le champ de Q de référence. On devrait ainsi supprimer de la matrice $A$ les échanges radiatifs LW et SW
dépendants de Q~: $A=A_0+A_{Qrad}$. Ce qu'il reste n'est pas un ajustement sec mais tous les
mécanismes de turbulence et convection. On ne voit pas pourquoi il en résulterait un L-R constant,
et de même la technique influence la définition du gain, car comment bloquer d'autres processus ?

Alors, Hansen {\it et al} sont plus libres avec leur interrogation en parallèle d'un modèle 1D. Chaque
calcul de $\Dth_s$ est fait avec un ajustemnent vers le profil prescrit au 1D, qui est issu du 3D.
On a là un bon compromis entre liberté et contrainte pour notre interrogation. Pas de chance,
parce qu'ils n'ont guère besoin de définir un modèle de base ! Leur méthode tient exclusivement
en la décomposition arbitraire du profil complet de T et Q~: retour à la case départ.
Mais quand même, leur pratique consiste à se demander quelle pertubation de la surface peut-être
rendue responsable du profil imposé; dans ce cadre linéraire la réponse est unique et $T_s$
pourrait être remplacée par toute autre variable scalaire (ou même un champ 2D en 3D).
Leur 1D\footnote{Lacis et al 81 je trouve pas.}
comporte ``l'habituel ajustement'' (sec ?) On est dans le cadre de l'influence descendante du
profil perturbé de la tropo sur la surface, ce qui est à mettre en rapport avec ce qui, dans les
GCM reste quand on supprime la partie ascendante (causale) des mouvements convectifs.

Et Hallegatte {\it et al} ? Ils font quoi ces génies ? D'abord ils se débarassent du modèle
de base en expliquant que doubler $CO_2$, c'est appliquer une perturbation de température tropo,
malin, hein ? La boucle est définie sur $T_s$ avec un L-R constant par choix de modèle.
Couper la boucle, c'est couper l'incidence
immédiate de $\Dth_s+\varpi$ sur Q, ce qui laisse inchangés les mécanismes inhérents à la réaction
du système; et de plus, ouvrir la boucle conduit le climat à rester à l'équilibre. Il apparait ainsi
que le modèle de base est une définition liée au modèle en boucle ouverte, d'où la difficulté. Alors,
est-ce une question pertinente ? De plus, la perturbation ``initiale'' est une $\Delta T_{tropo}$,
justifiée de la réponse au doublement de $CO_2$ ``applying to the tropo temp first'', mais éliminant
alors le tempo de cette convertion; et de la forme même du modèle, cette perturbation de base
reste à L-R C\textsuperscript{st}.

 Que font Hall et Manabe 2000 auquels se réfèrent les auteurs pour
supprimer WV ? Seuls les calculs LW sont à Q fixés, comme déjà vu.

Mais l'originalité de Hallegatte {\it et al}
réside dans la mise en évidence de l'aspect dynamique de la rétroaction. Comment définir l'influence
d'un ``modèle de base'' dans cette dynamique ? Si on considère que la WV se construit au fil du
temps, la réponse quasi-immédiate de Planck concerne les premiers jours du doublement, avec un temps
caractéristiques de 20-30 jours; mais c'est aussi la gamme des tempos du pôle rapide (entre 6 et 30 jours)
lié au déséquilibre initial de RH. En fait, la réponse dîte de Planck possède sa propre dynamique, avec
un refroidissement rapide~(30j) de la strato sans grande modif de tropo, suivi d'un réchauffement
turbulent par la surface et un retour à l'équilibre avec une $z_{eq}$ à peine plus élevée, et donc
vers un profil final proche de l'initial. Ainsi, les réponses en boucle ouverte et fermée
ont deux dynamiques de démarrage semblables, qui ne permettent pas de résoudre le problème, sauf à
prendre une référence qui absorbe la dynamique du pôle lent; le profil de base serait alors à
prendre entre 2 et 3 mois après la perturbation ? Ceci à vérifier avec un uni-colonne. On peut
déjà suivre l'OLR avec doublement dans ClimSI pour voir cette dynamique PRP.

Enfin, Slingo {\it et al} identifient l'effet de la rétro WV par l'influence de Q sur le flux de surface
retenu dans la tropo, et en LW seulement. Ce qui implique l'intervention de tous les mécanismes ---
à l'exception des nuages grâce à l'analyse par ciel clair et de l'albedo (ice-free oceans).

Bref, il sort de la biblio qu'aucune définition stricte du WV n'existe, et notre conclusion est que
la procédure de structuration du modèle avec boucle doit permettre de sélectionner les mécanismes.
On va ainsi reformuler le problème en partant de la proposition de Liu \& Cai~: dans une formulation
explicite des transferts, on peut, comme dans Hallegatte {\it et al}, préciser les mécanismes
qui sont ou pas immédiatement dépendants de la variable-jauge. D'autre part, en restant TEF on reste généralisable.

{\bf mais on a le droit de reposer le problème {\it ab initio} de la caractérisation d'un effet de rétro,
ça peut être amusant ?}
%
\paragraph{formulation-transferts}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On va le faire, mais en sachant qu'on va trouver une décomposition de $A=\sum_i A_i$, on devrait alors simplement
extraire les $A_i$ de rétroaction du modèle de base, et avec $A_i=L_i R_i$ trouver un gain direct, augmenté
d'un effet indirect, comme dans~(\ref{sysxfy}). Mais la réponse inclusive ne dépendra à nouveau que de $\ket{b}$,
alors ?

Alors, on part d'un supposé modèle explicitant des transferts --- attention, il s'agit de divergences, en
suivant L\&C~:
%
\begin{equation}
K\partial_t \DT  = -\Delta R+\Delta S+\Delta Q^{conv}+\Delta Q^{turb}-\Delta D^v-\Delta D^h+\Delta W^{fric}+\Delta F^{ext}
\label{statgcm3}\end{equation}
%
avec ces composantes censées être en correspondance avec un AGCM. On va examiner cette décomposition du point
de vue, d'abord, de LMDZ, et ensuite avec ClimSI comme exemple de la base possible d'un modèle simplifié~:
%
\begin{itemize}
\item $R$, divergence des flux LW et $S$, flux SW absorbé, ceci correspondant au module des calculs radiatifs;
\item $Q^{conv}$, convergence des flux convectifs~(sous-mailles et verticaux), c'est à la fois le modèle
de couche limite et de convection profonde;
\item $Q^{turb}$, idem pour les flux turbulents, incluant les flux sensible et latent de surface; en plus de la surface,
il pourrait y avoir une prise en compte de l'effet du cisaillement vertical du vent dans la dynamique verticale,
le modèle de strato, un modèle de turbulence spécifiques aux nuages types cirrus ? Et les ondes de gravité ?
\item $D^v$, divergence du transport vertical grande échelle; dans la dynamique liée aux variations de pression ?
\item $D^h$, idem pour l'advection horizontale ; dynamique;
\item $W^{fric}$ bilan net du travail des forces de déformation~(wind stress), comprenant en particulier
les forces de friction de surface; mais quoi d'autre ?
\end{itemize}
%
mais comme on arrête pas d'en discuter, cette séparation parallèle aux codes ne satisfait pas
le questionnement climatologique. Poursuivons L\&C en restant 3D.
Leur ``modèle de base'', le seul exprimé en fonction de la température est lié au LW~(effet direct),
 sans y intégrer les effets des changements
d'humidité ni de nuages~(effets indirects), soit~: $\Delta R=P\DT+\Delta^w R+\Delta^c R$. On a bien dans les calculs
radiatifs un calcul par ciel clair distinct des nuages. La part $\Delta^w R$ est causée par un changement de $P$.

De même, ils séparent effets de nuages et albedo du SW~:
$\Delta S=\Delta^\alpha S+\Delta^c S$ (clairement distincts). Le nouveau regroupement est alors~:
%
\begin{enumerate}
\item $\Dfi_{rad}=\Delta^\alpha S+\Delta^c (S-R)-\Delta^w R$, terme qualifié de rétroactions thermodynamiques
liées au rayonnement; là, ils regroupent des termes qui sont analysés séparément d'ordinaire.
\item $\Dfi_{loc-dyn}=\Delta Q^{conv}+\Delta Q^{turb}-\Delta D^v+\Delta W^{fric}$, rétroactions dynamiques
 {\it locales}, y incluant le transport vertical de grande échelle très faible en effet,
mais aussi la convection qui peut envahir toute une colonne. Local doit donc se comprendre comme vertical, ou
géographiquement local à l'échelle de la discrétisation;
\item $\Dfi_{dyn}=-D^{h}$ reste alors comme seul effet non local, prenant en compte les couplages synoptiques
et climatiques~(entre basses et hautes latitudes par ex.) par
l'amosphère et l'océan -- $T_s$ étant alors une température de couche de mélange océanique;
\end{enumerate}
%
L\&C font remarquer que des rétroactions plus ciblées peuvent être néanmoins analysées, exercice auquel ils
se prêtent dans un deuxième papier applicatif.

Leur méthode évaluant les composantes additives du changement se prète à toute partition des flux possible,
mais l'application dans le TEF exige d'identifier les ensembles de mécanismes associés --- puisqu'alors, on
va définir chaque boucle de rétroaction par une variable distincte perturbant chaque ensemble de mécanismes
(c'est la procédure de ``séparation''), et on a $\ket{b_i}=\partial_{\theta_{s}}X_i$ pour chaque contribution
$X$ aux flux.

Comme on peut interroger ClimSI (avec ses augmentations supposées)~:
%
\begin{itemize}
\item $\Delta S=\Delta^\alpha S+\Delta^c S$, pa ni problème, modèles explicites avec même trois bandes
de nuages;
\item $\Delta R=P\DT+\Delta^w R+\Delta^c R$. On peut interroger le modèle radiatif sans nuages, mais
le terme $P\DT$ est à prendre en compte dans le modèle de base, on va y revenir;
\item $\Delta Q^{conv}$, $\Delta Q^{turb}$, et $\Delta D^v$ sont ensemble dans l'ajustement au L-R;
\item $\Delta D^h$ est sans objet pour une seule colonne, mais serait en transferts paramétrisés entre
colonnes;
\item $\Delta W^{fric}$, c'est juste le transfert surface-tropo, qui pourrait dépendre de l'intensité
des tranferts horizontaux;
\end{itemize}
%
Dans mini-ClimSI, il faut répertorier tous les transferts connectés à la $T$ surface, --- avec cette
difficulté que cette $T_{surf}$ est connectée rigidement à la tropo par le L-R fixé~: on a pour l'heure~:
%
\begin{itemize}
\item $T_s\rightarrow Q$ via Clausius-Clapeyron;
\item on peut définir trois $T_{nua}$ sur les trois bandes de nuages $\rightarrow SW$;
\item pour l'effet LW, soit il est inclu dans WV, et c'est fait, soit il est à mettre
sur rétro Cld, et alors dans~:
\begin{verbatim}
eqn:  flux_LW_ocean = Flux_Rad(
  T_ocean_eta,T_tro_surf_phi,rLapse_tro,T_strato_eta,rLapse_str,
  HumRel_phi,CO2_conc_eta,rN_B,rN_M,rN_H,IDO,time,istep,Zprint,ZnewFlux
                    ) + flux_oce_ref
                      + flux_oce(2)*(T_ocean_eta-Tocean_ref)
                      + flux_oce(3)*(T_tro_surf_phi-Tsurfair_ref)
                      + flux_oce(4)*(T_strato_eta-Tstrato_ref)
                      + flux_oce(5)*(HumRel_phi-HumRel_ref)
                      + flux_oce(6)*(CO2_conc_eta-xCO2_ref)
                      + flux_oce(7)*(rN_B-rN_B_ref)
                      + flux_oce(8)*(rN_M-rN_M_ref)
                      + flux_oce(9)*(rN_H-rN_H_ref);
\end{verbatim}
% 
il faut détacher les trois dernières composantes et en faire un flux dépendant des $rN(T_{nua}-\gamma z_{nua})$.
Conceptuellement, il y a un pb, car ces nuages ne sont pas directement perturbés par $T_S$, mais le modèle
suppose que cet effet se produit rapidement (?) Sinon, on pourrait faire que $rN_i$ dépende de $Q(z)$, mais
alors, il faudrait que $T_{nua}\rightarrow Q\rightarrow rN_i$ définisse séparément les nuages.
\item il reste les flux surface, sensible et latent via une autre température.
\end{itemize}
%
Ces température d'excitation des mécanismes supposées exhaustives, on aura les effets-en-retour par
la procédure standard\footnote{dîte pert: step\_eff; les calculs correspondent à la réponse associée à
chaque boucle indépendamment, en identifiant la colonne de $B_b$ correspondante.} mais en utilisant
cette fois une perturbation déterminée par $\DFext$ (cf retour sur forçage page~\pageref{retour}.
On aura énetuellement besoin de plus
de la composante de Planck, et enfin du changement global sur $T_S$.

La composante de Planck n'est pas calculée dans ClimSI actuellement. Si on connecte une $T_{temp}$ sur
les flux LW en isolant la contribution
\begin{verbatim}
                      + flux_oce(3)*(T_tro_surf_phi-Tsurfair_ref) ,
\end{verbatim}
% 
on a cette perturbation purement radiative, mais sans perturbation associée.

Le changement global étant $\DT_{tot}(t)=\bra{c}\int_0^t\Phi(t,\tau)\DFext(\tau)d\tau$, on devra conduire ce calcul
de SLTC avec évaluation de la source, soit en utilisant la contribution linéaire~:
\begin{verbatim}
                      + flux_oce(6)*(CO2_conc_eta-xCO2_ref)
\end{verbatim}
% 
soit par différence.
\bigskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\theequation}{A-\arabic{equation}}
% redefine the command that creates the equation no.
\setcounter{equation}{0}  % reset counter
%\appendix
\section*{Annexe A}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\paragraph{Liens entre l'effet-en-retour et les gains}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 Nous allons établir une identité formelle qui recèle deux lectures
physiques fondamentalement différentes de la réponse d'un système à une perturbation.
Cette identité relie la forme réponse à la forme gain du SLT caractérisé par sa matrice
d'avance--de--phase $A$ diversement décomposée en $A=A^\flat+\sum_j \ext{b_j}{c}$.
Voici cette identité~:
%
\begin{equation}
\bra{c}(\mu I-A^\flat-\sum_j\ext{b_j}{c})^{-1}\ket{b_i}=
\displaystyle\frac{\bra{c}(\mu I-A^\flat-\displaystyle\sum_{j\ne i} \ext{b_j}{c})^{-1}\ket{b_i}}{1-\bra{c}(\mu I-A^\flat-\displaystyle\sum_{j\ne i}\ext{b_j}{c})^{-1}\ket{b_i}}
\label{anx1}\end{equation}
%
qui s'écrit encore en explicitant par la matrice $A$ et la matrice réduite $A^i=A-\ext{b_i}{c}$~:
%
\begin{equation}
\bra{c}(\mu I-A)^{-1}\ket{b_i}=
\displaystyle\frac{\bra{c}(\mu I-A^i)^{-1}\ket{b_i}}{1-\bra{c}(\mu I-A^i)^{-1}\ket{b_i}}
\label{anx2}\end{equation}
%
Sous cette forme, le terme de gauche exprime la réponse du système à une perturbation
excitant le système via le mécanisme identifié à $\ket{b_i}$.
La structure du terme de droite explicite la boucle de rétroaction mettant en jeu ce mécanisme
 --- avec $\rho_i(\mu) = \displaystyle\frac{g^\ast_i(\mu)}{1-g^\ast_i(\mu)}$.
L'égalité permet d'identifier ces deux manières de considérer la réponse à une perturbation.

\vspace{0.5cm}
Pour la démonstration de l'identité~(\ref{anx1}), on multiplie chaque terme par le dénominateur.
Allégeons l'écriture en posant $D_i=\mu I-A^\flat-\sum_{j\ne i}\ext{b_j}{c}$; le terme
de gauche devient alors~:
%
\begin{equation}
\textit{LHS}=(1-\bra{c}D_i^{-1}\ket{b_i})\bra{c}(D_i-\ext{b_i}{c})^{-1}\ket{b_i}
\label{anx3}\end{equation}
%
on sort $D_i$ du facteur de droite, on développe, et on met $\bra{c}D_i^{-1}$ en facteur à gauche
et $(I-\ext{b_i}{c}D_i^{-1})^{-1}\ket{b_i}$ à droite~: 
%
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
\textit{LHS}&=\bra{c}D_i^{-1}(I- \ext{b_i}{c}D_i^{-1})(I-\ext{b_i}{c}D_i^{-1})^{-1}\ket{b_i}\\
            &=    \bra{c}D_i^{-1}\ket{b_i}
\end{array}
\label{anx4}\end{equation}
%
les facteurs internes s'éliminent et on retrouve le numérateur du terme de droite de (\ref{anx1}).
Cette identité permet, pour une boucle unique, de passer de la forme gain
à la forme réponse, comme pour~(\ref{retro5}) et (\ref{retro4}); et dans le cas d'analyse multiple,
elle justifie ~(\ref{retro6})\footnote{on démontre plus généralement que
$C^\dagger (A-\!BC^\dagger)^{-1}B=\left[I-C^\dagger A^{-1}B\right]^{-1}\; C^\dagger A^{-1}\!B$ ---
ou son commuté.},
que l'on peut obtenir par application de la Woodbury flop.

\vspace{0.25cm}
Par ailleurs, en posant à présent $D_{\underline{i}}=(\mu I-A^i)$ dans la démonstration précédente,
on trouve encore que $\rho_i(\mu) = \displaystyle\frac{g_i(\mu)}{1-g(\mu)}$,
cette fois en fonction des gains exclusifs. On a alors ce lien entre les deux analyses~:
%
\begin{equation}
\boxed{
\rho_i(\mu) = \displaystyle\frac{g_i(\mu)}{1-\sum_j g_j(\mu)} =\frac{g^\ast_i(\mu)}{1-g^\ast_i(\mu)}
}\label{anxID}\end{equation}
%
ce qui identifie deux manières fondamentalement différentes de considérer une réponse~:
i) en fonction d'un ensemble de $p$ boucles de rétroaction exclusives d'une part, et ii) de
$p$ boucles uniques correspondant à chaque réponse inclusive du même système d'autre part.
Insistons sur le fait que tous ces systèmes sont mathématiquement
équivalents. On peut en particulier noter la consistence des deux analyses en constatant que
%
\begin{equation}
\sum_{j=1,p}\rho_i = \displaystyle\frac{g}{1-g}
\label{anx5}\end{equation}
%
qui montre de ce fait l'identité des réponses globales $\DT_s$.

On a encore cette relation qui peut se tirer de~(\ref{anxID})~:
%
\begin{equation}
g^\ast_i=\frac{g_i}{1-\displaystyle\sum_{j\ne i}g_j}
\label{gstarg}\end{equation}
%
qui lie les deux approches, et qui justifie le diagramme de droite de la fig.~\ref{diaggstar},
car on a bien alors~:
%
\begin{equation}
f=\frac{1}{1-\displaystyle\sum_{j\ne i}g_j}\;\times\;\frac{1}{1-g^\ast_i}
\label{gstargb}\end{equation}
%

%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=PS/ifc.eps,%
bbllx=0pt,bblly=0pt,bburx=740pt,bbury=230pt,width=14cm,clip=}}
\caption{Process two is analysed in the exclusive way (left panel) or inclusively~(right).}
\label{diaggstar}
\end{figure}
%
On a également cette détermination des IFC en fonction des gains exclusifs avec le facteur
net de rétroaction de Hansen, et des effets--en--retour inclusifs~:
%
\begin{equation}
\DT_i=g_i\DT_{tot}=g_i f \DT_0 = \frac{g^\ast_i}{1-g^\ast_i}\DT_0\quad ,
\label{gstarg2}\end{equation}
%
relation qui resitue la définition de Hansen {\it et al} dans le présent contexte formel.
On peut remarquer que ce qu'ils déterminent avec leur 1D, c'est $\DT'_i=\displaystyle\frac{g_i}{1-g_i}\DT_0$.
On peut donc évaluer leur ``erreur''~:
%
\begin{equation}
\frac{\DT_i}{\DT'_i}=g_i\DT_{tot}=(1-g_i)f\quad .
\label{hanserr}\end{equation}
%
d'où ils déduisent $g'_i=\displaystyle\frac{\DT'_i}{\DT_{tot}}$; le facteur d'erreur précédent
est donc aussi le rapport des gains $\displaystyle\frac{g_i}{g'_i}$, c'est beaucoup !
Mais je renonce à toute application numérique, dans l'impossibilité de reconstituer
les chiffres du papier~: quel rapport entre les $\DT$ de leur figure 6 et de leur table I ?
Et considérant cette table, comment peuvent-ils bien trouver ces $g_i$ ?
%
\paragraph{remarque} la question selon L\&C pourrait être reformulée ainsi~: comment calculer les
$\Dth_i$ connaissant les $\Dfi_i$ et $\DT_{tot}$~? En voilà une question qu'elle est bonne.

\bigskip
\paragraph{Interaction entre rétroactions}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ce lien entre gains inclusifs et exclusifs peut se décliner de manière simple lorsque la matrice
d'avance a la forme $A=\mu K+P-\ext{u}{v}-\ext{b}{c}$, ayant décidé que le système de base était défini
par $A_0=\mu K+P$. On étudie d'abord comment ce gain suplémentaire intervient dans celui définit
par l'acteur $\ket{b}=\sum\ket{b_i}$, en considérant le système suivant
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu K+P)\Deta  = \ket{u}\Dth_x &+ \ket{b}(\Dth_s+\varpi(\mu))\\
\Dth_x = \bra{v} \Deta&  \\
\Dth_i = \bra{c} \Deta& 
\end{array}
\right.
\label{sysx}\end{equation}
%
l'élimination de $\Deta$ donne le système couplant les deux variables de rétroaction~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
 (1-\bra{v}A_0^{-1}\ket{u})\Dth_x -\bra{v}A_0^{-1}\ket{b})\Dth_s &= \bra{v}A_0^{-1}\ket{b})\varpi  \nonumber\\
-\bra{c}A_0^{-1}\ket{u})\Dth_x  + (1-\bra{c}A_0^{-1}\ket{b})\Dth_s &= \bra{c}A_0^{-1}\ket{b})\varpi
\end{array}
\right.
\label{sysx2}\end{equation}
%
On s'intéresse tout d'abord à {\bf l'impact d'un gain additionel} sur nos gains $g_i$ , et on élimine $\Dth_x$~:
%
\begin{equation}
\begin{split}
 [\;1\;-\bra{c}A_0^{-1}\ket{b}-\frac{1}{1-g_x}\bra{c}A_0^{-1}\ket{u}\bra{v}A_0^{-1}\ket{b} ]\;\Dth_s\\
 =\quad (\bra{c}A_0^{-1}\ket{b}+\frac{1}{1-g_x}\bra{c}A_0^{-1}\ket{u}\bra{v}A_0^{-1}\ket{b} ))\varpi
\end{split}
\label{sysx3}\end{equation}
%
où nous avons posé $g_x= \bra{v}A_0^{-1}\ket{u}$ ce gain exclusif lié à $\Dth_x$.
Ces résultats nous autorisent à identifier le gain inclusif lié à $\Dth_s$ avec
%
\begin{equation}
g^\ast = g + \frac{1}{1-g_x}\bra{c}A_0^{-1}\ket{u}\bra{v}A_0^{-1}\ket{b}
\label{2retros}\end{equation}
%
modifiant ainsi le gain exclusif $g=\bra{c}A_0^{-1}\ket{b}$\footnote{cette dernière équivalence se
démontrant directement par application de la Woodbury flop à partir de la définition du
gain inclusif $g^\ast=\bra{c}(A_0-\ext{u}{v})^{-1}\ket{b}$.}.
Il est alors possible de récrire le système originel~(\ref{sysx}) avec une seule boucle de rétroaction,
ce qui revient à changer $\ket{b}$, de cette manière~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu K+P)\Deta  &= (I+ \displaystyle\frac{\ket{u}\bra{v}}{1-g_x}A_0^{-1} )\ket{b}(\Dth_s+\varpi(\mu))\\
\Dth_i = \bra{c} \Deta& 
\end{array}
\right.
\label{sysxf}\end{equation}
%

Ces systèmes étant tous mathématiquement équivalents, on remarque que la déclinaison des rétroations en $\ket{b_i}$
permet de modifier chacun des gains exclusifs en fonction de la rétroaction supplémentaire.

\bigskip
De manière analogue, en éliminant cette fois $\Dth_s$ du système~(\ref{sysx3}), on peut écrire
la relation entre gains liés à $\Dth_x$~:
%
\begin{equation}
g_x^\ast = g_x + \frac{1}{1-g}\bra{v}A_0^{-1}\ket{b}\bra{c}A_0^{-1}\ket{u}
\label{2retros2}\end{equation}
%
qui donne {\bf l'impact de gains} en analyse sur un autre.
Là encore, chacune des rétroactions via $\displaystyle\frac{\ket{b_i}}{1-g}$ contribue
additivement à modifier le gain de la rétroaction x.

Pour être exhaustif, le système originel s'écrit ici~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu K+P)\Deta  &= (I+ \displaystyle\frac{\ket{b}\bra{c}}{1-g}A_0^{-1} )\ket{u}(\Dth_x+\varpi(\mu))\\
\Dth_x = \bra{v} \Deta& 
\end{array}
\right.
\label{sysxg}\end{equation}
%

\bigskip
Étudions {\it in fine} le rôle d'une {\bf rétroaction vectorielle} sur nos gains $\Dth_s$,
avec cette fois $A=\mu K+P-A_\ast-\ext{b}{c}$. On décompose arbitrairement $A_\ast=LR$ en produit
de matrices triangulaires $L$ et $R$, et on étudie le système suivant
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu K+P)\Deta  = L\Dth_x &+ \ket{b}(\Dth_s+\varpi(\mu))\\
\Dth_x = R \Deta&  \\
\Dth_i = \bra{c} \Deta& 
\end{array}
\right.
\label{sysy}\end{equation}
%
où cette fois-ci $\Dth_x$ est un vecteur. On obtient le système couplé~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ccccc}
 (1-R A_0^{-1}L)\;\Dth_x &-&R A_0^{-1}\ket{b})\;\Dth_s &=& R A_0^{-1}\ket{b})\;\varpi  \nonumber\\
-\bra{c}A_0^{-1}L)\;\Dth_x  &+& (1-\bra{c}A_0^{-1}\ket{b})\;\Dth_s &=& \bra{c}A_0^{-1}\ket{b})\;\varpi
\end{array}
\right.
\label{sysx2y}\end{equation}
%
et le rapport aux gains~:
%
\begin{equation}
g^\ast = g \;+ \bra{c}A_0^{-1}L(I-R A_0^{-1}L)^{-1}R A_0^{-1}\ket{b}
\label{2retrosy}\end{equation}
%
qui correspond au système original suivant
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
(\mu K+P)\Deta  &= (I+ L(I-R A_0^{-1}L)^{-1}R A_0^{-1} )\ket{b}(\Dth_s+\varpi(\mu))\\
\Dth_i = \bra{c} \Deta& 
\end{array}
\right.
\label{sysxfy}\end{equation}
%
Il suffit encore de modifier $\ket{b}$, et alors encore de décliner en ses composantes pour
avoir l'impact de l'extra sur les gains étudiés. Toute décomposition de $A_x$ donnera de possibles
rétroactions (SVD ou autres).

A noter finalement que dans tous ces cas la réponse $\rho=\bra{c}A^{-1}\ket{b}\varpi$
reste la même, de même que ses composantes, bien qu'apparemment la perturbation semble exciter
le système via $\ket{b}$ originel ou modifié.

\bigskip
\paragraph{Essai d'une nouvelle rétroaction}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ce problème s'apparente à celui que traitais Cacuci de la sensibilité à un mécanisme non-encore
intégré dans un modèle. On prend ainsi comme matrice de base $A^\sharp=\mu K+P-A+\ext{x}{c}-\ext{x}{c}$,
et on trouve un gain exclusif correspondant à ce nouveau mécanisme $g_x = -\bra{c}D^{-1}\ket{x}$
où la matrice $D$ diffère de $A_0$ par la présence de $+\ext{x}{c}$. On applique une formule
de changement pour retrouver $A_0$, ce qui donne~:
%
\begin{equation}
g_x = -\frac{\bra{c}A_0^{-1}\ket{x}}{1-\bra{c}A_0^{-1}\ket{x}}\;,
\end{equation}
%
ce qui fait prendre à ce gain externe la forme d'une réponse. Ce résultat se généralise avec
l'intervention d'un mécanisme plus élaboré en suivant les formes précédemment données.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\theequation}{B-\arabic{equation}}
% redefine the command that creates the equation no.
\setcounter{equation}{0}  % reset counter
\section*{Annexe B}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La grande bavure\footnote{30/12/08 je laisse, mais cette annexe devrait être dépassée par le modèle
détaillé du $\Dth^\ast$.} liée à la définition partielle de $A=\sum_j \ext{b_j}{c}$, on va dire $A^\flat=0$,
apparaît dans le fait que  les rétroactions ne font pas réagir entre-elles les $n-1$ couches supérieures.
Et si on prend alternativement $\mu K+P-A^\flat$ comme système de base (à rétros climatos nulles), on
s'éloigne de la rétro Planck --- y compris à l'équilibre final. On peut a priori penser que l'irruption
tempestive du Lapse-Rate dans le modèle aura au moins pour effet de faire réagir toutes ces couches,
et d'exhiber une correction au L-R constant.

Comment écrire un modèle avec irruption du Lapse-Rate ? Il faut bien définir $\Dth^\ast=\Dth-\ket{1}\Dth_s$
et changer les variables\footnote{c'est ce que font les Cess et Zhang {\it et al}, cf Zhang JGR-94},
avec ce vecteur $\ket{1}$ de composantes l'unité.
Alors, comme tout dépend de la perturbation de $\Dth_s$ on peut déterminer
ces nouvelles variables $\Dth^\ast=\ket{r}\Dth_s$ et reporter dans le système des $\Dth$, ce qui devrait
expliciter une rétroaction de L-R, non ?

Par changement de variable et pour $\Dth_s$ donné, le système des $\Dth^\ast$ s'écrit
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
(\mu K+P)\;(\Dth^\ast+\ket{1}\Dth_s)  = A\;(\Dth^\ast+\ket{1}\Dth_s)\nonumber\\
\Dth_s = \bra{c} (\Dth^\ast+\ket{1}\Dth_s) 
\end{array}
\right.
\label{lr0}\end{equation}
%
Bien évidemment, la dernière équation confirme que la n\textsuperscript{ième} composante
de $\Dth^\ast$ est nulle ($\scal{c}{1}$=1). Reste le système dans $\Re^{n-1}$~:
%
\begin{equation}
(\mu \breve{K}+\breve{P}-\breve{A^\flat})\Dth^\ast= \ket{\bar{a}-\mu \bar{k}-\bar{p}}\Dth_s\;,
\label{lr2}\end{equation}
%
système qui fait apparaître un opérateur-colonne $\ket{\bar{a}-\mu \bar{k}-\bar{p}}$ exprimant
le cumul des sensibilités de chaque couche à toutes les températures de la colonne
(exprimé par ce $\;\bar{\cdot}\;$).

Il reste à reporter dans le système initial où on peut conserver le modèle de base~:
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
(\mu K+P)\Dth  = \ket{\check{r}}\Dth_s +\ket{\bar{a}}\Dth_s\\
\Dth_s = \bra{c} \Dth
\end{array}
\right.
\label{lr3}\end{equation}
%
où on a noté $\ket{\check{r}}\Dth_s$ ce groupe $A\displaystyle\begin{bmatrix}\ket{\bar{r}}\Dth_s\\0\end{bmatrix}$
et où on a donc que la n\textsuperscript{ème} composante de $\ket{\check{r}}$ est  nulle.

A présent, il est clair que le système est complet, que les rétroactions standards cellées dans
$\ket{\bar{a}}\rightarrow\sum_j\ket{b_j}$ ont profondément changé (mais dans le bon sens puisqu'alors
toutes les colonnes de $A$ sont impliquées), et enfin que l'on peut définir
ce mécanisme lié au L-R par $\ket{\check{r}}$.

Me semble qu'on voit plus, en rapport avec ce que montrent de manière différente L\&C~: c'est que
cette irruption du L-R est tirée par les cheveux, ce qui se montre ici, bien que caché par le
formalisme symbolique, dans la fonction de $\mu$ alambiquée constituant $\ket{\check{r}}$.

On va donc reformuler le problème en suivant la proiposition de 

%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\theequation}{C-\arabic{equation}}
% redefine the command that creates the equation no.
\setcounter{equation}{0}  % reset counter
\section*{Annexe C}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On a rassemblé ici les résultats utiles de l'analyse de Floquet.
%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Un modèle ramassé de rétroaction Vapeur d'Eau}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{zequi}
%
%
\begin{eqnarray}
F_{LW} &=&  \sigma T_{atm}(z_e)^4 \nonumber
\end{eqnarray}
%
%
\begin{equation}
\left[ 1 - \frac{\alpha\beta \gamma_z  A}{\mu+ A}\right]\Delta\varphi
 = [1-g_{WV}(\mu)]\Delta\varphi= \pi_T \quad [+\frac{1}{C_p\beta(\mu +  A)}\Delta F_{SW}]
\label{gform}\end{equation}
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\paragraph{Remarques subsidiaires.}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Passage au modèle hors d'équilibre}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{znonequi}
%
%
\begin{figure}[ht]
\centerline{\psfig{figure=/data/al1/prl/newform/wv2repeff.eps,%
bbllx=60pt,bblly=65pt,bburx=560pt,bbury=750pt,width=14cm,height=8.5cm,angle=-90,clip=}}
\caption{Water vapour feedback model responses.}
\label{wvfb}
\end{figure}
%
%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cc}
\mu\DT  = A(\mu)\DT &+ \ket{b}\Delta F_0\nonumber\\
\Dfi = \bra{c} \DT& \nonumber
\end{array}
\right.
\label{statretro}\end{equation}
%
dans ces cahiers.
%
\end{document}
