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\begin{document}
%
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\title{Éléments d'analyse des systèmes non linéaires\date{mars 2007}
\author{Céline Conrardy}}
\maketitle
%

\bigskip
{\it Le succès des prévisions météorologiques à long terme passe par la connaissance des sources de
variabilité d'un système chaotique non linéaire au delà de l'échelle de temps déterministe
(environ 14 jours en météorologie). 
Les prédictions opérationnelles traditionnelles ont connu des résultats intéressants en utilisant des
 méthodes d'ensemble et de moyennes qui éliminent une partie des fluctuations de hautes fréquences et
 cherchent à prédire la partie restante du signal dont les variations sont beaucoup moins importantes
 [Seidman, Shukla]. Théoriquement, la partie presque périodique d'un flot,
par exemple la variabilité intrasaisonnière peut être prédite sur un temps comparable à sa période.
 En pratique, les méthodes statistiques actuelles comme la prévision par moyenne décalée
 (prévision séquentielle) ont en général échoué [Kalnay \& al]. Les modèles auto régressifs basés sur
 la minimisation de l'entropie, couplé avec un pré filtrage basé sur l'analyse de spectre sont d'une
 grande utilité pour le développement de prédictions statistiques à long terme de la variabilité
 atmosphérique et océanique. Un certain nombre de méthodes de prévision non-linéaires ont été
 introduites qui semblent bien s'appliquer aux signaux de faibles bruits obtenus par les modèles
 dynamiques d'ordres faibles ou les systèmes expérimentaux simples [Farmer, Sidorowich, Casdagli].
 L'application directe de telles méthodes aux observations atmosphériques ou aux modèles de simulation
 du climat n'a pas donné de résultats probants [Keppenne \& Ghil]. Or nous pouvons constater que le
 climat, bien que d'une grande variabilité, présente des aspects plus où moins cycliques à différentes
 échelles de temps. L'idée qui sous-tend cette étude est d'essayer d'exploiter ces différentes
 ''pseudo-périodes'' de la dynamique atmosphérique afin d'en extraire de l'information sur le
 comportement du système. Il existe une réelle différence d'approche entre d'une part l'approche
 prédictive point par point et l'approche ''modale'' où l'on recherche l'excitation de certains
 ''modes'' de la trajectoire pouvant servir à prévoir de façon globale le régime d'évolution future.
 Quelle réalité mathématique peut-on donner à ces ''pseudo périodes'' pour rendre compte des différents
 ''régimes'' du climat? L'objet de ce rapport est de préciser ces notions sur des systèmes chaotiques
 simples ayant des particularités cycliques.}

$ $\footnote{Al1~: outrepassant les limites restrictives de l'exercice, le texte remis a été par la suite
abondé dans l'intérêt de l'unsecte lecteur.}
\newpage

\tableofcontents{}

\newpage
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Théorie de Floquet}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\subsection{Considérations générales}
\label{floquet}
%
Parmi les outils mathématiques servant à l'analyse de systèmes possédant des périodicités, la théorie
 de Floquet permet de tout savoir d'un système à matrice d'avance d'état périodique dès la première période.
On utilise ici cet outil sur des modèles très simples de la dynamique atmosphérique.
%                                                        
\subsubsection{Progagateur}
%
L'analyse de Floquet s'applique aux systèmes dynamiques $\partial_t x = A(t)\, x$ lorsque
la matrice d'avance d'état au point courant est périodique : $A(t+T)=A(t) \quad\forall t$. Elle permet de trouver une base de projection de la trajectoire dans laquelle chaque coordonnée est une trajectoire périodique amplifiée (ou atténuée) exponentiellement. Ceci permet de voir la trajectoire comme la superposition de modes (les vecteurs de Floquet) plus ou moins actifs selon la valeur du coefficient d'amplification (les multiplieurs de Floquet).
Les propriétés du propagateur associé au système de Floquet sont classiquement obtenus en considérant la
matrice $X(t)$ des solutions fondamentales du système qui forment une base de toutes les
solutions au système. Le propagateur est simplement défini par :
\begin{eqnarray}
 \Phi(t,0)&=&X(t)X^{-1}(0)
\label{xpm}\end{eqnarray}
%
 On a la relation :
\begin{eqnarray}
 \partial_t \Phi(t+T,0) &=& A(t)\,\Phi(t+T,0) 
\end{eqnarray}
qui prouve que $\Phi(t+T,0)$ est également solution, et peut donc s'exprimer dans la base
 $\Phi(t,0)$~:
%
\begin{eqnarray}
 \Phi(t+T,0)&=&\Phi(t,0)\, M 
\label{xpmb}\end{eqnarray}
%
où $M$ est une matrice constante (et régulière, puisque les $\Phi$ le sont par définition).
%
%
% .........................................
\subsubsection{Vecteurs de Floquet}
% .........................................
%
On diagonalise\footnote{cette diagonalisation est toujours possible avec un calcul machine car l'ensemble des matrices non diagonisables est de mesure nulle dans l'ensemble des matrices.} le propagateur en $t=T$, ce qui permet de déterminer les valeurs propres $\sigma_i =e^{\Lambda_i T}$ 
%
\begin{eqnarray}
 \Phi(T,0)&=& Z\,e^{\Lambda T}Z^{-1}= Z \Sigma Z^{-1} \nonumber\\
 Y(t)&\stackrel{def}{=}&\Phi(t,0)\,Z  \nonumber\\
 Y(0)&=&Z  \nonumber\\
\end{eqnarray}
%
La relation de $Y(t)$ avec sa réplique à $t+T$ est alors
%
\begin{eqnarray}
 Y(t+T)&=&\Phi(t+T,0)\,Z = \Phi(t+T,T)\,\Phi(T,0)\,Z   \nonumber\\
       &=&\Phi(t,0)\,Z\, e^{\Lambda T}    \nonumber\\
 Y(t+T)&=& Y(t)\, e^{\Lambda T}
\label{floq1}\end{eqnarray}
%
Par ailleurs,  $Y$ s'intègre comme le propagateur, car
%
\begin{eqnarray}
 \partial_t Y &=& A(t)\,\Phi(t)\, Z=A(t)\, Y(t)
\label{dty}\end{eqnarray}
%
On construit à partir des vecteurs colonne de $Y$ d'autres vecteurs non amortis, ce sont les vecteurs de Floquet. On obtient une matrice $\flo$ que l'on définit en ``dés-amortissant'' $Y$ et dont les vecteurs colonne sont les vecteurs de Floquet.
%
\begin{eqnarray}
 \flo(t) &\stackrel{def}{=}& Y(t)e^{-\Lambda t} 
\label{vfloq}\end{eqnarray}
%
on obtient bien un vecteur périodique, car :
%
\begin{eqnarray}
 \flo (t+T) &=& Y(t+T)\, e^{-\Lambda T}e^{-\Lambda t}   \nonumber\\
             &=& Y(t)e^{-\Lambda t}=\Psi^F (t)
\end{eqnarray}
%
%
\begin{eqnarray}
 \partial_t \flo &=& AY \,e^{-\Lambda t}- Y(t)\Lambda e^{-\Lambda t} \nonumber\\
                   &=& A\flo (t) - \flo e^{\Lambda t}\Lambda e^{-\Lambda t}
\end{eqnarray}
%
et du fait de la diagonalité des trois matrices de droite, le résultat final est
%
\begin{equation}
\partial_t \flo = A\flo (t) - \flo \Lambda \quad {\mbox avec}\,\flo(0)=Z   
\label{floqfin}\end{equation}
%
Ainsi, connaissant la période $T$ de la matrice d'avance de phase d'un système dynamique linéaire, et ayant calculé les vecteurs propres du propagateur à $t=T$, on est capable d'intégrer en avant un ou plusieurs vecteurs de Floquet.
On a alors pour le propagateur :
%
\begin{equation}
 \Phi(t,0)=Y(t)Z^{-1}= \Phi(t,0)=\flo(t)e^{\Lambda t}Z^{-1} \nonumber
\end{equation}
%
On peut ainsi caractériser la stabilité des systèmes
de Floquet en calculant $\Lambda=\frac{1}{T}\log \Sigma$.
Les valeurs propres $\sigma_i$ sont appelées les {\bf multiplieurs de Floquet} et sont uniques. Les $\lambda_i$ sont les {\bf exposants de Floquet} et ne sont pas uniques dans la décomposition de Floquet puisque si 
%
\begin{eqnarray}
\sigma_i &=& \rho_i e^{-i \theta_i} \nonumber\\
     \lambda_i&=& \frac{ln (\rho_i)}{T}+ i \frac {\theta_i+2k\pi}{T} \nonumber
\end{eqnarray}
avec k un entier quelconque.
De plus $\flo$ et $\Lambda$ sont en toute généralité imaginaires. La croissance de chaque vecteur de Floquet au cours du temps est déterminée par la partie réelle de l'exposant de Floquet correspondant, et la fréquence par la partie imaginaire.


%==============================================
\subsection{Analyse de Floquet des systèmes périodiques}
%==============================================

% -------------------------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Théorie}
% -------------------------------------------------------------------------------------
%
Prenons un système périodique régi par l'équation : 

\begin{equation}
\partial_t \eta = g(\eta)
\label{eqsysteme}
\end{equation}
Le système est périodique, on a donc par définition $\eta(t+T)=\eta(t)$.
Une perturbation sur la trajectoire de référence est régie par:

\begin{equation}
\partial_t \deta = \partial_\eta g \,\deta
\end{equation}
%
Avec $\deta (t)=\Phi(t,\tau)\deta(\tau)$ où $\Phi(t,\tau)$ est le propagateur et en posant $A = \partial_\eta g(\eta)$ on a :
\begin{equation}
\partial_t \Phi(t,\tau) = A(t)\Phi(t,\tau)
\end{equation}
%
La matrice d'avance d'état au point courant $A$ est elle-même périodique ($\forall t, A(t+T)=A(t)$). On considère alors le système de Floquet de période $T$.

% -------------------------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Propriété de la vitesse lorsque le système est périodique}
% -------------------------------------------------------------------------------------
%
 
La ''vitesse'' du système est par définition $V(t)=\partial_t \eta$ et la périodicité{\footnote{Prendre garde au fait que la périodicité du système n'entraine pas la périodicité des perturbations :
$\deta(t+T)\neq\deta(t)$}} du système entraîne $V(t+T)=V(t)$. Comme par ailleurs
\begin{equation}
\partial_t V = \partial_t g(\eta)=\partial_\eta g(\eta)\,\partial_t \eta =A(t)V(t)
\end{equation}
%
on a que $V$ se propage de la même façon que $\deta$. On peut déduire de cette particularité une {\bf propriété de la décomposition de Floquet du système linéaire tangent des systèmes périodiques}, celle d'avoir un {\bf multiplieur de Floquet égal à 1}.
En effet, on a que $V(t)=\Phi(t,0)V(0)$ est périodique de période T. 
Or \begin{equation}
  V(T)= \Phi (T,0) V(0) \nonumber\\
        =V(0) \nonumber
\end{equation} et donc $V(0)$ est vecteur propre de $\Phi (T,0)$ avec la valeur propre 1. Cette propriété permet aussi de vérifier qu'un système de Floquet est un système périodique de par l'existence d'un multiplieur de Floquet égal à 1.
%
% .........................................
\subsection{Code dans \Minik}
% .........................................
%
La modélisation des systèmes est généralement conçue dans la perspective de simulations numériques. Pour tous les calculs présentés dans ce rapport, on a modélisé les systèmes étudiés dans \Minik qui est un environnement logiciel de type ZOOM simplifié. Toutes les dérivées partielles nécessaires à la résolution du système sont effectuées à la précompilation. Le programme principal de \Minik est subdivisé en morceaux, que l'on appelle séquences. On code dans la séquence \$ZINIT les instructions de dimension du modèle et son expression mathématique. Puis dans les séquences \$ZTEER et \$ZSTEP introduites en fin de la boucle temporelle du programme principal, on peut effectuer des tests et calculs supplémentaires, interrompre la simulation...

Pour le calcul des vecteurs et exposants de Floquet, on réalise la décomposition en valeurs propres du propagateur dans \$ZSTEER pour déterminer la période $T$, les exposants de Floquet $\lambda$ et $Z$. Ces calculs se font facilement grâce à la librairie mathématique Lapack. Les valeurs sont stockées dans un fichier de sortie. Puis on utilise à nouveau \Minik prenant en entrée le fichier précédent pour initialiser $\Phi(T,0) = Z$ dans le \$ZINIT et effectuer le calcul $\flo(t)=\Phi(t,0)\,Z\,exp(-\Lambda t)$ en complexe dans \$ZSTEER. 
% 


\newpage
% .........................................
\section{Analyse d'article : Etudes des oscillations intra-saisonnières sur un modèle barotrope } 
% .........................................
%
A quoi peut servir la théorie de Floquet dans le domaine de la prédiction météorologique? L'analyse d'un article \footnote{Intraseasonal Oscillations in a Barotropic Model with Annual Cycle, and Their Predictability, 1994} de C.Strong, M.Ghil et F. Jin émet des hypothèses intéressantes quand à l'interprétation physique pouvant être donnée aux vecteurs de Floquet.
%
\subsubsection{oscillations intra-saisonnières}
%
Le phénomène d'oscillations intra-saisonnières dans l'hémisphère Nord est un phénomène bien connu
des météorologues. On peut l'observer sur de nombreuses variables atmosphériques dont le moment
angulaire global de l'atmosphère. En effet, si le moment angulaire total de la Terre se conserve,
ce n'est pas le cas de celui de l'atmosphère car il y a échange avec les continents et les océans~:
quand le vent augmente, la rotation terrestre diminue et vice-versa. Le moment angulaire global de
l'atmosphère est donc un bon indicateur de la dynamique atmosphérique à grande échelle.
Les observations ont montré des oscillations de 40 jours autour de la valeur moyenne du moment angulaire,
particulièrement en hiver et au début du printemps. Dans ce qui suit, l'analyse de Floquet d'un modèle
barotrope de l'atmosphère permet d'établir une corrélation entre ces oscillations intra-saisonnières
d'une périodicité d'environ 40 jours et le cycle annuel moyen. 
%
\subsubsection{modèle et analyse de Floquet}
%
Le modèle utilisé est un modèle atmosphérique barotrope dont l'équation adimentionnée du flot
 atmosphérique est:
%
\begin{equation}
\partial_t (\Delta - \Gamma^{2})\Psi + J[\Psi, \Delta \Psi + 2µ(1+ \gamma h)]=-\alpha \Delta (\rho \Psi^{*} - \Psi)- \nu \Delta^{k}\Psi
\end{equation}
%
où $\Psi^{*}$ est un forçage périodique.

On génère grâce à ce modèle 100 années synthétiques du climat, on construit le flot d'une année moyenne
$\Psi_{p}$ qui peut être considérée en bonne approximation comme le motif répété d'un système périodique.
On linéarise alors le système autour de ce flot moyen. Une perturbation initiale au flot moyen est régit
par~:
%
\begin{equation}
\partial_t \delta \Psi = (\Delta - \Gamma^{2})^{-1}\left(-J(\Psi_{p}(t),\Delta \delta \Psi ) - J[\delta \Psi, \Delta \Psi_{p}(t) + 2µ(1+ \gamma h)]+\alpha \Delta \delta \Psi- \nu \Delta^{k}\delta \Psi \right) \nonumber\\
 = L \delta \Psi \nonumber \\
\end{equation}
%
où L est un opérateur linéaire.

On intègre cette équation sur une base de vecteurs initiaux, ce qui permet d'obtenir le propagateur $\Phi(t,0)$. La décomposition en valeurs propres de $\Phi(T,0)$ donne les exposants de Floquet. Il suffit ensuite de résoudre :
\begin{equation}
\partial_t \flo = -\lambda \flo + L \flo  
\end{equation}
pour obtenir les vecteurs de Floquet
%
%................................................................................................
\subsubsection{interprétation des vecteurs de Floquet conduisant à des instabilités}
%.................................................................................................
%
 En prenant $t_{0} = 15 juin$ Strong {\it et al} trouvent trois exposants de Floquet de partie réelle
 positives. Il y a donc trois modes instables. Le premier mode est oscillant avec $1 / \lambda_{\mbox{\tiny{reel}}}$
 égal à 28 jours. La structure du vecteur de Floquet associé présente une forte activité en hiver et au
 début du printemps comme on peut le constater sur la Fig.~\ref{floHN}. 

Ceci permet aux auteurs de conclure à une instabilité principale de 28 jours de temps de croissance
 caractéristique, à l'origine d'une oscillation intra-saisonnière, bien observée, de 40 jours de
 l'Hémisphère Nord (trouvée sur $\flo(t)$) et confirme son activité hivernale au sens large.
 La solution numérique du problème aux valeurs propres pour les exposants de Floquet confirme
 l'augmentation de l'activité pendant l'hiver et fournit un moyen de suivre la croissance et l'atténuation
 de l'activité intra-saisonnière via la structure du vecteur de Floquet. Les auteurs de l'article utilisent
t le vecteur de Floquet comme base pour des prédictions à 40 jours en utilisant un modèle auto-régressif
 de maximisation d'entropie(MEM).

L'idée de base de ces expériences de prédiction est que
{\bf le comportement du vecteur de Floquet est le même que celui de la composante intrasaisonnière du
modèle non linéaire complet}. Or, la méthode MEM ne donne pas de résultats satisfaisants pour le modèle
 complet. Mais le fait que le vecteur de Floquet soit régulier, oscillant avec un spectre dominé par
 les pics à 40~et 365~jours rend la méthode MEM opérationnelle sur ce vecteur. D'après les auteurs
 cette méthode s'est révélée très efficace pour prévoir les anomalies de la fonction courant de Lagrange
pendant l'hiver.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=figures/celine_c.eps,%
bbllx=0pt,bblly=0pt,bburx=332pt,bbury=565pt,width=8cm,clip=}
	\caption{Moment angulaire du premier vecteur de Floquet et structure de ce vecteur dans un diagramme de Hovmöller}
	\label{floHN}
\end{figure}
%
Toutefois, il faut garder à l'esprit qu'on analyse l'évolution d'une perturbation le 15 juin par rapport au flot moyen annuel. Or il existe à tout instant des perturbations par rapport à ce flot moyen et il eut été intéressant que les auteurs étudient le vecteur de Floquet avec un autre point de départ. Cependant la perturbation initiale étant prise dans une période de faible activité intra-saisonnière, l'analyse de Floquet permet d'étudier l'amplification d'une perturbation faible ce qui est cohérent avec la logique d'étude de stabilité.
%
% .........................................
\subsection{Lorenz 63 et Lorenz périodique}
% .........................................
%
On cherche à appliquer les idées de l'article précédent à un système beaucoup plus simple. Pour cela on
 cherche d'abord comment périodiciser un système ''presque'' périodique puis à appliquer la théorie de
 Floquet. Cette étude à l'avantage de préparer un algorithme d'optimisation dont on utilisera une version
 plus complexe au chapitre suivant.

Le système étudié est un système de dimension 3 : l'attracteur de Lorenz qui tient son nom du météorologue
 Edward Lorenz qui l'a découvert et étudié en détail. C'est une simplification à l'extrême d'équations
 régissant les mouvements atmosphériques. Lorenz les a promu afin de mettre en évidence sur un système
 simple la sensibilité aux conditions initiales qu'il avait observée sur des modèles numériques
plus complets.
Les équations correspondent aux modes principaux des équations de la convection de Rayleigh-Bénard dans
 lesquelles on considère un fluide entre deux plaques portées à deux températures légèrement différentes.
 Les deux plaques sont horizontales et la plaque la plus chaude est située en bas. On observe alors des
 tourbillons. Le comportement du fluide est très bien déterminé par les équations de la mécanique des
 fluides (équation de Navier-Stokes, hypothèse d'incompressibilité du fluide, équation
 de la chaleur).

Ces équations donnent le système réduit suivant :
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
\partial_t x = \ P_{r} (y-x)\\
\partial_t y = r x - y - xz\\
\partial_t z = -b z + xy
\end{array}
\right .
\label{Lorentz}
\end{equation} avec y qui représente la température et x la vitesse du fluide.
%
Pour les valeurs suivantes des paramètres, on obtient un attracteur ''papillon'' :\begin{equation}
%
\left \lbrace
\begin{array}{l}
P_{r} = 10 \ nombre\ de\ Prandtl\\
r = 28 \ nombre\ de\ Rayleigh\\
b = \frac {8}{3}\\
\end{array}
\right .
\end{equation}
%
On peut voir l'attracteur résultant de la résolution de ce système sur la Fig.\ref{Papillon}~\footnote{On
essaie de remettre au goût du jour les figures en relief à la Morse \& Feshbach; il suffit de tirer
légèrement les commissures externes des yeux et de laisser gentiment les deux images se superposer pour
voir émerger du relief.}
%
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.55\linewidth}
\centerline{\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Floquet/PS/Papillonb.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=387pt,bbury=278pt,width=8.5cm,height=7.5cm,angle=90,clip=}}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.5\linewidth}
\psfig{figure=/home/al1/Cahiers/Gains/Articles/Floquet/PS/Papillona.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=387pt,bbury=278pt,width=8.5cm,height=7.5cm,angle=90,clip=}
\end{minipage}\hfill
\caption{Attracteur de Lorenz.}
\label{Papillon}
\end{figure}
%
Le modèle de Lorenz présente le double avantage d'être un modèle simple et déjà très étudié [Sparrow].
 Le modèle n'est pas périodique, mais on peut considérer qu'avant une transition, il est pseudo-périodique.
 On va chercher dans un premier temps à le rendre périodique.
%
%--------------------------------------------------------------
\subsubsection{optimisation des paramètres en vue de trouver un système périodique}
%-------------------------------------------------------------

Il existe plusieurs méthodes de stabilisation d'orbites périodiques instables. La possibilité de trouver
 une ''fenêtre'' dans la gamme de paramètres du modèle où l'orbite périodique devient stable a déjà
 été discutée [Barreto]. Cependant, la possibilité de trouver ce type de ''fenêtre'' dépend du nombre
 d'exposants de Lyapunov\footnote{Voir le chap.4 pour une définition des exposants de Lyapunov.}
 positifs de l'attracteur et, si le premier est suffisamment grand, la recherche d'une telle ''fenêtre''
 devient impossible\footnote{En ce qui concerne l'attracteur de Lorenz, le calcul des exposants de
 Lyapunov par {\it roduction} présenté dans le rapport du premier semestre montre que ce n'est pas le cas.}. Il existe aussi une méthode de stabilisation des orbites basée sur une série de transformations universelles, à savoir des réflexions et rotations dans l'espace qui s'applique aux système de petites dimensions [Schmelcher et Diakonos].

On choisit ici de réaliser un algorithme d'optimisation permettant de trouver la valeur du coefficient
de Rayleigh pour lequel le système de Lorenz est périodique. 

Pour cela l'algorithme cherche tout d'abord une valeur du point courant $\stackrel{\rightarrow}{\eta(t)}$
qui repasse à proximité du point de départ $\stackrel{\rightarrow}{\xi_0}$ puis utilise une routine
Lapack donnant le vecteur $X$ qui minimise la norme de~:
%
\begin{equation}
\left\|AX-B\right\|
\end{equation}
%
avec dans un premier temps $A=\partial_r\stackrel{\rightarrow}{\eta(t)}$ , $X=\delta r$ et
 $B=\stackrel{\rightarrow}{\eta(t)}-\stackrel{\rightarrow}{\xi_0}$, ($r$ étant le Rayleigh).

Le programme :
%
\begin{itemize}
	\item Commence le calcul de la trajectoire à partir d'un point initial donné à la main. 
	\item Repère le premier minimum de la distance au point initial.
	\item Réalise la procédure d'optimisation du minimum : calcul de $\delta\stackrel{\rightarrow}{\xi_0}$ et $\delta \ r$
	\item Calcule les exposants de Floquet et la matrice Z (éléments propres de $\Phi(T,0)$).
	\item Actualise les conditions initiales : $\stackrel{\rightarrow}{\xi_0}=\stackrel{\rightarrow}{\xi_0}+\delta\stackrel{\rightarrow}{\xi_0}$ et 
	$r=r+\delta \ r$
	\item Imprime les valeurs des variables correspondant à la pseudo-période optimisée dans un fichier
 sortie (point initial, point final, Rayleigh, distance, pseudo-période, Z, multiplicateurs de Floquet).
	\item Réitère la procédure jusqu'à ce que la distance de fermeture de l'orbite soit inférieure à une
 valeur seuil de $10^{-30}$.	
\end{itemize}

Ce système est périodique pour :
%
\begin{equation}
\left \lbrace
\begin{array}{l}
P_{r} = 10\\
r = 24.07\\
b = \frac {8}{3}\\
\end{array}
\right .
\end{equation}
%
Pour vérifier que ce résultat ne dépend pas du point initial, on effectue une optimisation en quatre
dimensions (sur le Rayleigh et sur le point initial $\stackrel{\rightarrow}{\xi}$).

On a alors :
%
\begin{equation}
A=\left[\frac{\Delta \stackrel{\rightarrow}{\eta(t)}}{\Delta \stackrel{\rightarrow}{\xi}} \ \ \
\frac{\Delta \stackrel{\rightarrow}{\eta(t)}}{\Delta r} \right]
\end{equation}
et 
\begin{equation}
 X = \begin{bmatrix} \delta\stackrel{\rightarrow}{\xi} \\ \delta \ r \end{bmatrix} \quad 
\end{equation}
%
On reconnait en $\frac{\Delta \stackrel{\rightarrow}{\eta(t)}}{\Delta \stackrel{\rightarrow}{\xi}}$
 la valeur du propagateur.

On peut vérifier la convergence de l'algorithme sur la Fig.~\ref{Rayleigh} où est reportée la valeur
 du Rayleigh à chaque itération de la procédure d'optimisation. Celui-ci converge vers 23,9.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering	
		\psfig{figure=imagesnew/refiodicFitRay.eps,width=6cm,angle=-90}
		\caption{Évolution du Rayleigh au cours de la procédure d'optimisation}
	\label{Rayleigh}
\end{figure}
%

{\it Remarque~: Dans le programme les choses sont un peu plus compliquées que la description précédente. 
Le pas de temps utilisé pour les calculs doit être réactualisé à chaque boucle d'optimisation pour que
 la pseudo-période recalculée soit un multiple du pas de temps et que le pas de temps devienne de plus
 en plus petit à l'approche du minimum de la distance entre le point initial et le point final. On trouvera
en annexe finale une discussion sur ces problèmes pratiques du fit}.
%
%----------------------------------------------------------------------------
\subsubsection{visualisation des vecteurs de Floquet}
%----------------------------------------------------------------------------
%
On visualise sur la Fig.\ref{refiodicFlos} les trois vecteurs de Floquet de ce système périodique.
 Évidemment, étant donné la simplicité du système et sa faible dimension, il n'y a rien de particulier
 à observer sur la structure des vecteurs de Floquet.
On peut noter que le calcul du premier vecteur de Floquet correspond à la valeur propre du propagateur
 qui tend rapidement vers 0; pour rendre ce vecteur périodique, il faut ainsi le multiplier
par $10^4$ à chaque tour, et on est très vite limité par la précision machine. Ceci est lié à la dimension
de l'attracteur qui est bidim comme déjà remarqué dans le premier rapport, d'où le calcul
d'un wronskien sous-dimensionné.
%
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{.33\linewidth}
\psfig{figure=figures/Psi1_refiod.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=387pt,bbury=278pt,width=4.2cm,height=4.5cm,clip=}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.33\linewidth}
\psfig{figure=figures/Psi2_refiod.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=387pt,bbury=278pt,width=4.2cm,height=4.5cm,clip=}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[h]{.33\linewidth}
\psfig{figure=figures/Psi3_refiod.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=387pt,bbury=278pt,width=4.2cm,height=4.5cm,clip=}
\end{minipage}\hfill
\caption{Vecteurs de Floquet du Lorenz périodique (de gauche à droite~: multiplieur presque nul, unité et instable).}
\label{refiodicFlos}
\end{figure}
%
Cependant, cette méthode très générale peut être appliquée à des systèmes de dimensions plus élevées
 pour lesquels les défauts de périodicité sont moins importants et où le système périodique diffère
 peu du système initial\footnote{cf. l'étude d'un modèle économique en fin de rapport}. C'est notamment
 le cas dans l'article de M.Ghil où le système périodique consiste en une moyenne de la fonction
 courant de Lagrange sur plusieurs années. 
En fait, le principal problème de la périodicisation de l'attracteur de Lorenz avec la méthode
 précédente est que l'attracteur obtenu n'a plus rien à voir avec l'attracteur de Lorenz initial
chaotique. On cherche dans ce qui suit une autre approche pour exploiter le ''caractère périodique''
 de l'attracteur.
%
%----------------------------------------------------------
\section {Décomposition de l'attracteur de Lorenz en orbites instables}
%----------------------------------------------------------
%
Dans le but de réaliser des prévisions météorologiques au delà de la prévision déterministe, un certain
 nombre de théories des systèmes dynamiques ont été développées en exploitant les particularités des
 attracteurs de systèmes chaotiques. Il y a déjà plusieurs années, des chercheurs ont mis en parallèle
 les blocages atmosphériques observés en météorologie et les trajectoires ayant des conditions initiales
 proches d'un point fixe d'un attracteur chaotique.
 La théorie des équilibres multiples de la circulation atmosphérique [Charney \& De Vore] qui en a résulté
 a permis de classifier les régimes atmosphériques quasi stationnaires. Chaque équilibre instable forme
 une région de l'espace des phases où la trajectoire ralentit et reste ''piégée''pendant une durée qui 
peut être déterminée. La pertinence de cette hypothèse a été confirmée par la comparaison des résultats
 d'analyse de cluster de la solution d'un modèle barotrope avec ses équilibres [Mo \& Ghil].

 Ces théories se basent sur l'exploration de la structure de l'espace des phases et notamment du nombre
 de points d'équilibre instable qu'il comporte. Cependant, même s'il existe de multiples points d'équilibre
 instable dans les attracteurs des modèles climatiques, leurs zones d'influence couvrent une très faible
 part de l'attracteur total et on ne sait pas dire quoi que ce soit du comportement du système entre deux
 passages près de l'un de ces points.

En faisant l'analogie avec les rapprochements faits pour la théorie des équilibres instables
 (blocage atmosphérique/point d'équilibre de l'attracteur), on peut se demander s'il n'existe pas d'autres
 types de ''solutions particulières'' des attracteurs qui pourraient être associés à des
 ''comportements atmosphériques particuliers''. On cherche notamment à étudier des régimes
 quasi-périodiques ou des apparences intermittentes de modes oscillatoires qui pourraient être expliquées
 comme un mouvement autour d'un cycle limite instable.

C'est dans cette perspective que cette étude analyse la structure de l'attracteur de Lorenz au moyen
 d'orbites quasi périodiques. Il est à noter que cette recherche, tout comme les précédentes
citées, s'inscrit dans la droite ligne des idées de Poincaré qui a le premier montré l'intérêt
d'analyser un attracteur en ses composantes périodiques.
%
%----------------------------------------------------------
\subsection {Recherche des orbites quasi-périodiques de l'attracteur de Lorenz}
%----------------------------------------------------------
%
La recherche des orbites quasi-périodiques de l'attracteur de Lorenz a déjà été entreprise par Zoldi
 et Greenside qui utilisent une méthode de Newton pour localiser les orbites périodiques instables de
 l'attracteur. Cependant les conditions initiales pour cette méthode doivent être choisies très proches
 de l'orbite périodique à trouver car sinon la méthode diverge. On lui préfère une méthode proche de
 celle de Kazantsev, qui utilise une minimalisation de fonctionnelle, en exploitant le calcul
du propagateur.
%
\paragraph{Recherche d'orbites :}
%
On recherche tout d'abord des pseudo-périodes assez grossières. Pour cela on réalise un algorithme qui :
\begin{itemize}
	\item Se donne un point initial de la trajectoire, 
	\item Repère les transitions et attribue un code A ou B permettant de connaître les orbes successivement décrites (si le code barre devient trop long, on sort de la boucle),
	\item Repère le premier minimum de la distance au point initial si cette distance est inférieure à une distance critique (choisie à 30 dans le programme) et si la trajectoire a déjà effectué une transition d'une orbe à l'autre,
	\item Décale le point d'arrivée d'un incrément de temps et l'utilise comme nouveau point initial de la boucle.
\end{itemize}
Ce premier programme permet d'établir un fichier de données dans lequel on trouve notamment pour chaque pseudo-période trouvée :
\begin{itemize}
	\item le point de départ $\stackrel{\rightarrow}{\xi}$
	\item le ''code barre''
	\item la pseudo période
	\item le point final
	\item la distance entre le point initial et le point final
\end{itemize}
%
On donne à la Fig.~\ref{LorKazIniHist} la répartition des orbites trouvées en fonction de leurs
pseudo-périodes. Le zoom montre avant fit la largeur des pseudo-périodes trouvées.
qu'après le fit ces périodes sont très resserrées.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LorKazIniHistA2B3.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=6cm,height=6.5cm,angle=-90,clip=}
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitPsdoP2.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=6cm,height=6.5cm,angle=-90,clip=}
		\caption{Histogrammes donnant la répartition des pseudo-orbites en fonction de leurs
 pseudo-périodes~: à gauche, zoom sur les séquences de 3 et 4 lettres avant fit; á droite, après fit.}
	\label{LorKazIniHist}
\end{figure}
%
\paragraph{Optimisation des orbites :}
%
On réalise un programme qui, pour chaque pseudo-période précédemment sélectionnée, réalise une
 optimisation permettant de minimiser la distance entre point initial $\stackrel{\rightarrow}{\xi}$
 et point final $\stackrel{\rightarrow}{\eta(t)}$. Cette optimisation est réalisée par la méthode
de Newton et à l'aide d'une routine Lapack qui permet de minimiser la norme~:
%
\begin{equation}
\left\|AX-B\right\|
\label{minX}\end{equation}
%
On a :
%
\begin{equation}
A=\left[\frac{\Delta \stackrel{\rightarrow}{\eta(t)}}{\Delta \stackrel{\rightarrow}{\xi}} \ \ \
\frac{\partial \stackrel{\rightarrow}{\eta(t)}}{\partial t}|_{t=T} \right]
\label{minA}\end{equation}
%
et 
%
\begin{equation}
 X = \begin{bmatrix} \delta\stackrel{\rightarrow}{\xi} \\ \delta \ T \end{bmatrix} \quad 
\label{minB}\end{equation}
%
On reconnait en $\frac{\Delta \stackrel{\rightarrow}{\eta(t)}}{\Delta \stackrel{\rightarrow}{\xi}}$ la valeur du propagateur.

Le programme :
\begin{itemize}
	\item Commence le calcul de la trajectoire à partir du point initial donné par le fichier input. 
	\item Repère les transitions et attribue un code permettant de connaître les orbes successivement décrites.
	\item Repère le premier minimum de la distance au point initial si cette distance est inférieure à une distance critique et si la trajectoire a déjà effectué une transition d'une orbe à l'autre.
	\item Réalise à la procédure d'optimisation du minimum : calcul de $\delta\stackrel{\rightarrow}{\xi}$ et $\delta \ T$
	\item Calcule les exposants de Floquet et la matrice Z des vecteurs propres de $\Phi(T,0)$.
	\item Actualise les conditions initiales : $\stackrel{\rightarrow}{\xi}=\stackrel{\rightarrow}{\xi}+\delta\stackrel{\rightarrow}{\xi}$ et 
	$T=T+\delta \ T$
	\item Réitère la boucle d'optimisation jusqu'à trouver une condition de sortie.	
	\item Recommence la procédure avec la pseudo-période non fitée suivante dans le fichier input.
\end{itemize}

Dans le programme les choses sont un peu plus compliquées que la description précédente. Le pas de temps utilisé pour les calculs doit être réactualisé à chaque boucle d'optimisation pour que la pseudo-période recalculée soit un multiple du pas de temps et que le pas de temps devienne de plus en plus petit à l'approche du minimum de la distance entre le point initial et le point final.

Les conditions de sortie du programmes sont :
%
\begin{itemize}
\item Les conditions initiales optimisées donnent lieu à une trajectoire ayant un code barre différent.
\item Après plusieurs essais d'optimisation en raffinant le pas de temps, la distance ne converge pas.
\item La distance est inférieure à $10^{-17}$. On imprime alors les valeurs des variables correspondant à la pseudo-période optimisée dans un fichier sortie (point initial, point final, code barre, distance période, Z, multiplieurs de Floquet).
\end{itemize}
%
La  Fig.~\ref{LorKazIniHist} à droite donne les histogrammes des périodes après fit, ce qui permet
de constater le resserrement des pics trouvés.
On peut voir sur la Fig~\ref{LorFitPeriod2} une peusdo-orbite avant et après optimisation.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\epsfig{figure=imagesnew/LorFitPeriod2.eps,width=6.5cm,angle=-90}
		\caption{Orbite BA avant optimisation en rouge et après optimisation en vert.}
	\label{LorFitPeriod2}
\end{figure}
%
%----------------------------------------------------------
\subsection {Répartition des orbites dans l'attracteur de Lorenz}
%----------------------------------------------------------
%
On donne à la Fig.~\ref{LKFitPsdoP2} la répartition des orbites trouvées en fonction de leurs périodes
pour l'ensemble de 1200 orbites initiales. On constate une nette amélioration dans la distribution
temporelle des périodes par rapport aux pseudo-périodes non optimisées de la Fig.~\ref{LorKazIniHist}.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\epsfig{figure=imagesnew/LKFitPsdoPdistribB.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=7.5cm,angle=-90,clip=}
		\caption{Histogramme donnant la répartition des orbites optimisées en fonction de leurs pseudo-périodes}
	\label{LKFitPsdoP2}
\end{figure}
%
\paragraph{Répartition des orbites dans l'espace des phases~:}
%
Une première remarque qui n'était pas évidente à priori est que toutes les pseudo-orbites ayant
 un même code barre ont convergé vers la même orbite finale. On montre ces orbites périodiques à
deux et trois lettres en 3D sur la Fig~\ref{LKFitTraj3}~: cette fois, la forme de l'attracteur
est bien captée.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitTraj3g.eps,width=5.5cm,height=5.8cm,,angle=-90}
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitTraj3.eps,width=5.5cm,height=5.8cm,angle=-90}
		\caption{Visualisation des orbites BA et ABA au sein de l'attracteur en 3D }
	\label{LKFitTraj3}
\end{figure}
%

Par ailleurs l'attracteur de Lorenz possède une symétrie évidente~: la transformation
$x \rightarrow -x, y \rightarrow -y$ ne change pas le système. Il en résulte que pour toute orbite
 asymétrique le résultat obtenu par symétrie est également une orbite, comme on le vérifie sur
la Fig~\ref{LKFitBBA-ABA} des orbites à trois lettres~:
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitBBA_ABA.eps,width=4.2cm,angle=-90}
		\psfig{figure=imagesnew/LKFit4lettres.eps,width=4.2cm,angle=-90}
		\caption{Orbites à 3 lettres et orbites à 4 lettres}
	\label{LKFitBBA-ABA}
\end{figure}
%

\newpage
On peut encore le vérifier sur les orbites à quatre lettres, sur la Fig~\ref{LKFit4lettres}~:
%
\begin{figure}[h!]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LKFit4lettres.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=7.5cm,angle=-90,clip=}
		\caption{Orbites périodiques á quatre lettres}
	\label{LKFit4lettres}
\end{figure}
%

La question de la représentativité d'un attracteur par ses composantes périodiques oblige à
ne pas en oublier, et donc à prendre un ensemble de points initiaux denses dans l'espace
des phases. On constate sur la Fig.~\ref{LKFitDistribxz} que la répartition des points initiaux
choisis et sélectionnés grâce à cette procédure balaie une zone assez grande de l'espace des phases.
Cependant ce n'est peut-être pas suffisant pour prétendre avoir détecté toutes les orbites ayant
un code barre de longueur donnée...et pas non plus suffisant pour affirmer qu'il  n'y a qu'une
orbite par code barre (ce qui est le cas pour les quelques centaines d'orbites de code de longueur
inférieure à 11 qui ont été trouvées par l'algorithme). On peut ainsi s'étonner de l'absence de
la période à 4.5 dans la Fig~\ref{LKFitPsdoP2}.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\epsfig{figure=imagesnew/LKFitDisribxz.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=6.5cm,height=6.5cm,angle=-90,clip=}
		\epsfig{figure=imagesnew/LKFitPsdoPdistrib2.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=7cm,height=8cm,angle=-90,clip=}
		\caption{Répartition des points initiaux des orbites optimisées}
	\label{LKFitDistribxz}
\end{figure}
%
\paragraph{Densité et temps de résidence autour des orbites trouvées}
%
La principale différence entre l'étude des points stationnaires et l'étude des orbites instables
 périodiques est que les premiers sont en nombre fini alors que les secondes sont en nombre infini.
 Une définition des systèmes chaotiques [Devaney] utilise même la densité des orbites périodiques
 dans un sous-espace V pour dire que le comportement du système y est chaotique. On ne peut donc
 pas trouver toutes les orbites mais tout au plus exploiter l'information contenue dans celles de
 plus faible période. 

De même qu'au paragraphe précédent, cette première série de données n'est pas exhaustive et on peut
 voir clairement sur la section de Poincaré de la Fig~\ref{LKFitPoincare} où les orbites sont en
 vert et les points d'une trajectoire en rouge qu'il peut  manquer des orbites pour interpréter
la trajectoire. 
%
\begin{figure}[h!]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitPoincare.eps,width=6.5cm,angle=-90}
		\caption{Orbites instables dans une section de Poincaré}
	\label{LKFitPoincare}
\end{figure}
%
La raison de la recherche de ces orbites instables est le fait que la périodicisation du Lorenz
 par modification des paramètres a  abouti à un système périodique trop simple et peu ressemblant
 au système initial. On a donc cherché à définir des périodes moins triviales. L'inconvénient est
 qu'il y a maintenant une infinité de périodes. Se pose donc la question de la validité de
 l'approximation périodique à proximité des orbites trouvées. Kazantsev s'est intéressé à la définition
 d'un temps de résidence autour des orbites. Cette méthode consiste à comptabiliser le nombre de
 passages complets de la trajectoire dans un petit tube très mince autour de chaque orbite.
 La répartition statistique de ces orbites, les relations entre les coordonnées dans des sections d
e Poincaré et la période, la répartition des périodes et la recherche des orbites manquantes donne
 lieu à de nombreuses études [Kazantsev, Auerbach, Cvitanovic]. L'idée sous-jacente est que le
 comportement du système est principalement déterminé par les orbites les plus fréquentes et les plus
 stables. Complétons enfin ce paragraphe qui pose plus de problème qu'il n'en résout en montrant
avec la Fig~\ref{LKFitTraj2} comment une trajectoire passe dans les bassins périodiques BA et
ABA\footnote{{\it note Al1~: on ne peut s'empêcher de rapprocher cette représentation
de celle des systèmes quantiques, et d'associer ces composantes périodiques à des états
de base d'un ensemble statistique}.}.
%
\begin{figure}[h!]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitTraj2.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=7.5cm,angle=-90,clip=}
		\caption{Orbites périodiques et trajectoire en x,y}
	\label{LKFitTraj2}
\end{figure}
%

\newpage
%----------------------------------------------------------
\section {Analyse de stabilité des orbites et de l'attracteur}
%----------------------------------------------------------
%
On cherche à étudier des apparences intermittentes de régimes quasipériodiques qui pourraient être
expliquées comme un mouvement autour d'un cycle limite instable. Des observations de tels types
de régimes se trouvent dans tous les systèmes physiques tels que l'atmosphère ou l'océan.
 Bien que notre étude soit incomplète du point de vue statistique, on peut déjà se demander quelles
 informations retirer des orbites trouvée sur la prédiction de l'évolution du système.

% -------------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Théorie de l'analyse asymptotique de Lyapunov}
% -------------------------------------------------------------------------------------

On introduit ici quelques éléments d'analyse de stabilité qui seront utiles par la suite. 

Si M est une matrice $m*n$ réelle ou complexe, alors il existe une factorisation de la forme :

    $M = U\Sigma V^{\dagger}, \,\!$

où $U$ est une matrice $mxn$, $\Sigma$ une matrice ayant des nombres non-négatifs sur la diagonale
e et des zéros ailleurs et $V^{\dagger}$ est la matrice conjuguée de $V$, une matrice $n*n$. On à de plus
 $U \ U^{\dagger}$ = $V \ V^{\dagger}=I$.
On appelle cette factorisation {\bf décomposition en Valeurs Singulières} de M.

Par convention, on ordonne les valeurs singulières par ordre décroissant et alors $\Sigma$ est uniquement
 déterminée par $M$.

L'estimation de l'amplitude de la prévision de l'erreur d'un système est toujours un problème intéressant
 dans le domaine de la prédiction. La croissance de l'erreur traduit, du point de vue théorique,
 l'instabilité du modèle. Pour un phénomène chaotique, les trajectoires issues de conditions initiales
 proches divergent localement au sein de l'attracteur. Le calcul des exposants de Lyapunov permet de
 mesurer le taux de divergence entre deux trajectoires.

On peut généraliser les concepts du paragraphe précédent à des trajectoires multidimensionnelles.
 Quantitativement, deux trajectoires dans l'espace des phases écartées de $\delta \mathbf{Z}_0$
 divergent de 
%
\begin{equation}
| \delta\mathbf{Z}(t) | \approx e^{\lambda t} | \delta \mathbf{Z}_0 |
\end{equation}
Le taux de divergence peut être différent pour différentes orientations du vecteur de séparation initial. C'est pourquoi il y a tout un ''spectre des exposants de Lyapunov''. Un  système  m-dimensionnel  possédera  m exposants de Lyapunov. Chacun d'entre eux  mesure le taux de divergence suivant un des axes du système, de sorte qu'en moyenne un hyper-volume évolue selon une loi de type : 
\begin{equation}
V = V_{0} e^{(\lambda_{1}+\lambda_{2}+...+\lambda_{m})t}
\end{equation}
%
On se réfère souvent au plus grand des exposants car il détermine la prédictabilité d'un système dynamique.
Pour avoir du chaos, il est nécessaire qu'au moins un des $\lambda_{i}$ soit positif, mais il faut
 également que la somme des $\lambda_{i}$ soit négative. En effet, dans le cas contraire, le volume
 initial finirait par remplir tout l'espace dans lequel il est immergé. On n'aurait alors plus un
 attracteur de faible dimension, et donc plus affaire à du chaos déterministe.

La définition des {\bf exposants de Lyapunov} se base sur le résultat du théorème d'Oseldec qui stipule
que la limite :  $ \lim_{t\rightarrow\infty} (\Phi(t,0)^\dagger \Phi(t,0))^{\frac{1}{2t}}$ existe et vaut
une matrice L. Les exposants de lyapunov sont alors~:
%
\begin{equation}
\lambda_{i}=\ln(l_{i}(t))
\end{equation}
%
où les $l_{i}$ sont les valeurs propres de la matrice L.

Cette définition traduit bien le fait qu'une perturbation initiale $\scal{x(0)}{x(0)}$ devienne
 $\scal{x(t)}{x(t)}=\scalm{x(0)}{\Phi}{x(0)}$ et permet de hiérarchiser les directions de perturbation.

On peut tout aussi bien considérer la décomposition en valeurs singulières du propagateur à tout instant~: 
%
\begin{equation} 
	\Phi(t,0)= U(t) diag (w_{i}(t)) V^{\dagger}(t)
\end{equation}
%
On remarque alors qu'on a à tout instant : $\Phi^{\dagger} \Phi V = diag (w_{i}^2) V$
donc $w_{i}^2$ est valeur propre de $\Phi^{\dagger} \Phi$ avec pour vecteur propre $V_{i}$. 
Et comme $\Phi^{\dagger}\Phi=V^{\dagger}w^2V$, il revient donc au même de définir les exposants de Lyapunov
 globaux par :
%
\begin{equation}
\lambda_{i}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\ln(w_{i}(t))
\end{equation}
%
Par ailleurs, on peut montrer\footnote{M. Farkas, Periodic Motions, Springer-Verlag, New York, 1994} que
 les exposants de Lyapunov sont les parties réelles des valeurs propres du propagateur pour un système
 linéaire invariant et les parties réelles des exposants de Floquet pour les systèmes de Floquet.

\vspace{.5cm}
%
Enfin on remarque que :
%
\begin{equation}
\sum\lambda_{i}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\ln(Det(\Phi(t,0))
\end{equation}
%
où le déterminant peut être calculé soit par SDV $Det(\Phi(t,0))= Det (diag (w_{i}(t)))$. 


\newpage
%
%----------------------------------------------------------
\subsection {Exposants de Floquet des orbites}
%----------------------------------------------------------
Il semble assez difficile de tirer des conclusions quant à la répartition des exposants de Floquet
 des différentes orbites. La Fig~\ref{LKFitFloExps} les montre en fonctions des périodes. Il est
troublant de constater que l'exposant le plus faible, que l'on a associé à la dimension de l'attracteur
qui disparait semble vouloir ne disparaître qu'avec plus de difficulté des longues orbites, ce qui
semble contradictoire; on peut émettre l'hypothèse que ce sont les transitions qui fait augmenter
cet exposants~: nouvelle question à explorer.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LorKazFloquExps.eps,width=7cm,angle=-90}
		\caption{Exposants de Floquet en fonction de la période de l'orbite.}
	\label{LKFitFloExps}
\end{figure}
%

On peut remarquer sur la Fig~\ref{LKFitFloExpMax2} que les plus
 grands exposants de Floquet pour chaque orbite ont une valeur assez proche du plus grand Lyapunov
 global de l'attracteur.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitFloExpMax2.eps,width=7cm,angle=-90}
		\caption{Exposant de Floquet le plus instable en fonction de la période de l'orbite.}
	\label{LKFitFloExpMax2}
\end{figure}
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LorKazFloquExpVel.eps,width=7cm,angle=-90}
		\caption{Exposant de Floquet ''nul'' en fonction de la période de l'orbite.}
	\label{LorKazFloquExpVel}
\end{figure}
%

On constate sur la Fig.~\ref{LorKazFloquExpVel} que les exposants de Floquet correspondants au
mode neutre trouvés sont assez  dispersés  autour de zéro..
Dans le cas d'une orbite strictement périodique on s'attend à avoir zéro. Il y a donc un
 écart à la périodicité, particulièrement affirmé pour l'orbite BA. Mais étant donné les problèmes
du fit qui ont été rencontrés, ceci peut être du à un effet numérique (cf annexe).
%
%
La corrélation entre la stabilité des orbites et leur fréquence dans l'attracteur a été étudiée
 par Kazantsev\footnote{ Cependant la corrélation semble dépendre aussi du nombre de transitions
 contenues dans les orbites et de leurs longueurs donc le résultat n'est pas trivial. Par ailleurs,
d'étranges ``trajectoires'' semblent relier les exp max.}.
 On cherche ici à aller plus loin dans l'analyse de stabilité en détaillant le contenu des vecteurs
 de Floquet.
%
%\newpage
%
%----------------------------------------------------------
\subsection {Exploitation des vecteurs de Floquet en vue d'une prévision météorologique}
%----------------------------------------------------------
%
Nous pouvons considérer qu'un régime quasi périodique s'installe lorsque la trajectoire approche une
 orbite périodique instable. Le temps moyen de résidence dans ce régime est déterminé par la valeur
du plus grand exposant de Floquet. Cependant, la valeur de l'exposant de Floquet ne fait que donner
 l'enveloppe du tube de solutions dans lequel va évoluer la trajectoire perturbée.
 La structure du vecteur de Floquet donne a priori une indication supplémentaire puisque sa valeur
 permet de situer l'écart à la trajectoire de référence à l'intérieur du tube.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/FloVBAxy0.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5.5cm,height=6.cm,angle=-90,clip=}
		\psfig{figure=imagesnew/FloVBAxy1.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5.5cm,height=6.cm,angle=-90,clip=}
		\caption{Orbite et vecteurs de Floquet d'une séquence BA.}
	\label{LKFitFloV2bis}
\end{figure}

On trace dans les Fig.\ref{LKFitFloV2bis},\ref{LKFitFloV4},\ref{LKFitFloV3Rd} et \ref{LKFitFloV7} les
 vecteurs de Floquet correspondant à l'exposant nul ($V_0$) et à l'exposant positif (multiplicateur
supérieur à 1) . Les particularités de ce dernier vecteur sont a priori les plus intéressantes car
les plus amplifiées par l'exposant.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/FloVABAxy01.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,angle=-90,clip=}
		\psfig{figure=imagesnew/FloVAAAABBAxy0.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,angle=-90,clip=}
		\caption{Orbite et vecteurs de Floquet d'une séquence ABBA.}
	\label{LKFitFloV4}
\end{figure}
%
Sur la Fig.~\ref{LKFitFloV2bis} on constate malheureusement que le vecteur de Floquet $V_1$ de la
séquence BA ne présente pas de particularités.
Il semble que la structure se complexifie à partir des orbites à 3 lettres mais il est assez difficile
de dégager quelque chose de significatif à ce stade.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/FloVABBA2fitd.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,clip=}
		\psfig{figure=imagesnew/FloVABBA2fit.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,clip=}
		\caption{Vecteur dominant de Floquet d'une séquence ABBA en 3D ({\it voir annexe sur les deux fits}).}
	\label{LKFitFloV3Rd}
\end{figure}
%
\begin{figure}[h!]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/FloVAAAABBA2fitd.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,clip=}
		\psfig{figure=imagesnew/FloVAAAABBA2fit.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,clip=}
		\caption{Vecteur dominant de Floquet de la séquence AAAABBA en 3D ({\it idem}).}
	\label{LKFitFloV7}
\end{figure}
%
%
{\it Ainsi, contrairement à l'observation
de Mich\ae l Ghil, on ne peut systématiser pour un système chaotique de ressemblance entre
un vecteur de Floquet et une trajectoire. Il serait utile de déterminer les conditions où
ce principe s'applique.}.
%                                                                                                      

\newpage
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\section{Conclusion et perspectives}
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%
%----------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Application à un modèle économique en dimension 8}
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Les codes de calculs générés par ce travail ont un champ d'application assez vaste. Prenons le cas d'un modèle économique à 8 dimensions quasi-périodique représentant des phases de croissance récession successives. Il a été observé sur ce cycle que l'ajout d'une perturbation sur la trajectoire peut engendrer soit une phase de récession bien plus importante soit permettre la reprise d'une croissance plus forte après la récession selon le type et l'instant de la perturbation. Peut-on relier l'effet de la perturbation à la structure d'un vecteur de Floquet qui serait plus ou moins ''excité'' par la perturbation?
Un étudiant en économie\footnote{note Al1 sic~: et félicitations à Stéphane ...} a utilisé l'algorithme d'optimisation précédent de \Minik et a optimisé les paramètres en vue de rendre le système totalement périodique. On voit sur la Fig.\ref{NeDymFitTraj} la représentation du cycle sur 3 dimensions. L'objectif suivant sera de déterminer si les différents comportements du système vis à vis d'une perturbation résultent de l'excitation de différents modes de Floquet. La connaissance de la structure des vecteurs de Floquet pourrait permettre de déterminer la perturbation optimale à appliquer en phase de récession afin d'obtenir une phase optimale de croissance dans le cycle suivant.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\epsfig{figure=imagesnew/NeDymFitTraj.eps,width=7cm,angle=-90}
		\caption{Représentation du cycle économique sur 3 des 8 dimensions}
	\label{NeDymFitTraj}
\end{figure}

%----------------------------------------------------------------------------
\paragraph{Applications à la climatologie}
%----------------------------------------------------------------------------

On a cherché dans cette étude à caractériser l'attracteur de Lorenz via ses orbites périodiques instables. Cette étude n'a pas permis de dégager une signification claire de la décomposition de Floquet de ces orbites. Cependant l'application de cette technique sur des modèles géophysiques aux dérivées partielles plus complexes pourrait donner lieu à des analyses de stabilité d'orbites ayant des formes plus complexes donc plus pertinentes. Les résultats de l'étude par décomposition de Floquet du système économique à 8 variables présenter ci-dessus s'avère semble mieux correspondre au phénomène étudié par M.Ghil à propos des oscillations intrasaisonnières.

Dans le cas d'une réponse positive pour ce modèles, de nombreuses questions restent ouvertes. Peut-on extraire des orbites dans les systèmes géophysiques réels? Ces orbites seraientt-elles suffisamment stables pour qu'une étude perturbative soit pertinente? La réponse à ces question pourrait donner lieu à une approche prédictive de la météo par analyse d'orbite et donc considérablement améliorer la fiabilité des prévisions à longs termes.


\newpage


\section*{Références}
\begin{itemize}

	\item M. Farkas, Periodic Motions, Springer-Verlag, New York, 1994
	\item Christopher Strong, Fei-Fei Jin, Michael Ghil, 1994 {\it Intraseasonal Oscillations in a Barotropic Model with Annual Cycle, and Their Predictability} 
	\item Pierre Montagnier, Raymond J. Spiteri, Jorge Angeles 2004 {\it The control of linear time-periodic systems using Floquet-Lyapunov theory}	
	\item Yakubovic et Starzhinshii, 1975 {\it Linear Differential Equations with Periodic Coefficient}
	\item Evgueni Kazantsev, 1998 {\it Unstable periodic orbits and attractor of the Lorenz model}, INRIA
	\item Alain Lahellec, 2006 {\it Manuel pratique de \Minik}
	\item Collaboration TEF-ZOOM, {\it Le Formalisme d'Evolution par Transferts : une introduction au découpage de modèle et à l'analyse de rétro-actions}, CIRED, LMD, LE
	\item M. Ghil, 2001 {\it Hilbert problems for the geosciences in the $21^{th}$ century}
	\item B. Legras, M. Guil 1985 {\it Persistent anomalies, blocking and variations in atmospheric predictability}. 
	\item S. Bharadwaj and K.D. Mease {\it A New Invariance Property of Lyapunov Characteristic Directions}
	\item Farmer J.D., Sidorowich J.J 1987 {\it Predicting chaotic time series}, Physical Review Letter 
	\item E. Kalnay, M.Kananlutsu et W.E. Baker 1990 {\it Global numerical weather prediction at the National Meteorological Center} Bulletin of American Meteorogical Society 71, 1410-1428
	\item Casdagli M. 1989 {\it Nonlinear prediction of chaotic time series} Physica D, 35, 335-356.
	\item Keppenne C.L. ant M. Ghil 1993 {\it Adaotuve filtering and prediction of noisy multivariate signals. An application to subannual variability in atmospheric angular momentum} Journal of Bifurcation and Chaos. 3, 625-634
	\item Seidman A.E. 1981 {\it Averaging techniques in long-range weather forecasting}
	\item Shukla J. 1985 {\it Predictability} Advances in Geophysics 
	\item E.Baretto, B.R.Hunt, C.Grebogi, J.Gunaratne, I.Procaccia 1987 {\it Exploring chaotic motions through periodic orbits} Physical Review Letters 
	\item C.Sparrow 1982 {\it The Lorenz Equation : Bifurcations, Chaos and Strange Attractors} Springer
	\item P.Schmelcher, F.K.Diakonos. {\it A general approach to the localization of unstable periodic orbits in chaotic dynamical systems} submitted to Physical Review 
	\item C.Conrardy, A. Lahellec 2006 {\it Éléments d'analyse des systèmes non linéaires}
	\item S.M.Zoldi, H.S.Greenside {\it Spatially localized unstable periodic orbits. submitted to Physical Review Letters}
	\item J.G.Charney, J.G.De Vore 1979 {\it Multiple flow equilibria in the atmosphere and blocking. Journal of the Atmospheric Sciences}
	\item K.Mo, M.Ghil 1988 {\it Cluster analysis of multiple planetary flow regimes} Journal of Geophysical Research.
	\item R.L.Devaney 1987 {\it An introduction to chaotic dynamical systems}
	\item P.Cvitanovic 1995 {\it  Dynamical averaging in terms of periodic orbits}
\end{itemize}

\subsection*{sites internet}
\begin{verbatim}
http://en.wikipedia.org/wiki/Singular_value_decomposition
http://math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/chaos_fract/Lyapunov/Exposant.html
http://spacetown.free.fr/chaos/lorenz.php
http://de.wikipedia.org/wiki/Floquet-Theorem
http://www-lmc.imag.fr/lmc-edp/Kazantsev/lyapunov/main.html
http://www.atmos.ucla.edu/tcd/RESEARCH/research_lfv.html
http://astrosurf.com/luxorion/meteo-massesdair.htm
http://math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/chaos_fract/Lorenz/lorenz.html
http://bill.srnr.arizona.edu/classes/496yikeda.htm

\end{verbatim}
%----------------------------------------------------------------------------
\section{Annexe~: Le problème du fit des orbites périodiques}
%----------------------------------------------------------------------------
%
Comme tout fit, ceux mis en jeu ici ont leur particularité.On montre sur la Fig~\ref{LorABFit-dt}
la réalisation d'un fit, avec les pics vers le bas représentants le raffinement de calcul prés
du minimum, et montrant comment l'algorithme recherche des pas plus petits.
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LorABFit-dt.eps,width=7cm,angle=-90}
		\caption{Gestion du pas de temps dans la recherche de minimum}
	\label{LorABFit-dt}
\end{figure}
%
On a eu ainsi du mal à réaliser un fit meilleur
que $10^{-18}$ de la distance quadratique au minimum, et alors on n'obtient un multiplicateur égal à l'unité
qu'à une précision difficilement meilleure que $10^{-3}$ ! 
D'où l'idée de fitter non pas sur une distance minimum entre états mais sur la vel, celle-ci s'avérant
coïncider avec le V.P. associé à 1 du propagateur maille. On calcule ainsi un écart
sur cette vitesse~:
%
\begin{verbatim}
set_probe
< eqn: mu_dist = quad_dist(np,dot_eta(1),dot_eta_bef(1));
>;
\end{verbatim}
%
avec la variable de \Minik~{\bf dot\_eta} qui est fournie avec la version 102\footnote{cf manuel, le
calcul de cette variable a été ajouté pour permettre ce calcul en phase avec les autres variables.}.
Il faut déterminer les sensibilités associées pour minimiser cette fois l'écart entre
les vel $=\partial_t\eta=g(\eta)$~:
%
\begin{equation}
g(\eta(T+\Delta T)+\Phi_T\Deta_0)-g(\eta_0+\Deta_0)
\end{equation}
%
que l'on développe~:
%
\begin{equation}
g(\eta(T))+A_T[\partial_t\eta\Delta T + \Phi_T\Deta_0]-(g(\eta_0)+A_0\Deta_0)
\end{equation}
%
ce qui fait que le nouvel opérateur de sensibilité est à présent
%
\begin{equation}
\wp_{\mbox{\tiny{vel}}} = [A_T\Phi_T-A_0;A_T\partial_t\eta]
\end{equation}
%
qui se simplifife si on accepte de remplacer $A_0$ par $A_T$, qui convergent l'une vers
l'autre\footnote{on a cependant permis de conserver une alpha\_ref dans le code, gérée
par un flag {\bf ZdotEta}, cf manuel et exemples.}.
On trouve alors une simple multiplication de l'opérateur sur la distance par $A_T$ pour
passer au fit sur l'écart entre vels~:
%
\begin{equation}
\wp_{\mbox{\tiny{vel}}} = A_T[\Phi_T-I;\partial_t\eta]=A_T\wp_{\mbox{\tiny{dist}}}
\end{equation}
%
L'application de cet algorithme s'avère encore décevante, le fit est moins rapide, on converge vers
les mêmes solutions, cf Fig~\ref{LKFitFloV3Rd} et~\ref{LKFitFloV7} où on a superposé deux
vecteurs  de Floquet déterminés par chaque méthode.

Des études systématiques ont montré que la précision sur le propagateur est un des déterminants
du problème. Alors, en supprimant le raffinement du pas de temps en se rapprochant du minimum,
\cad en gardant un pas constant, la détermination est meilleure (sur le multiplicateur).
On constate en effet que le propagateur varie fortement près du minimum, comme les trois
premières composantes diagonales de la Fig~\ref{LKFitPhit}~:
%
\begin{figure}[ht]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitPhit.eps,width=7cm,angle=-90}
		\caption{Distance quadratique et valeurs de trois coefficients diagonaux du propagateur
près du minimum.}
	\label{LKFitPhit}
\end{figure}
%
De plus lorsque l'on fitte sur la vel, on linéarise sur de plus grands accroissements, ce qui
peut expliquer la lenteur initiale de la convergence par rapport au premier fit sur la distance.

La clé semble donc de déterminer un pas de temps visant bien le passage par un minimum, mais assurant
de même la précision suffisante sur $\Phi$.

Finalement, on est arrivé à une variante de fit sur la distance comme la plus satisfaisante. Elle
consiste à rechercher ce minimum en déplaçant le point initial dans une section de Poincaré choisie
comme l'hyper-plan perpendiculaire à la vitesse. Ceci se fait donc plus simplement encore que
par une méthode de Newton puisqu'on a à résoudre le problème~\ref{minX},\ref{minA},\ref{minB}, mais avec
dans $A$ la ligne supplémentaire correspondant à l'hyperplan $<\partial_t\eta|\delta X>\quad =0$.
La nouvelle matrice $A$ étant carrée, on a la résolution d'un système linéaire au lieu d'un
problème de minimisation. 

La vitesse de convergence obtenue avec ce nouvel algorithme est très comparable à celle de la minimisation, mais
on tombe sur un multiplicateur s'approchant de $10^{-12}$ à $10^{-20}$ de l'unité. Sans trop comprendre
pourquoi ça marche si bien, c'est donc la solution à retenir.
%
%----------------------------------------------------------------------------
\section{Annexe~: Vecteurs de Floquet de composantes périodiques de l'attracteur de Lorenz}
%----------------------------------------------------------------------------
%
On rassemble ici quelques uns des vecteurs déterminés. De façon générale, si les vecterus ne ``ressemblent pas''
à l'attracteur, on y retrouve pour chaque vecteurs une transition entre deux plans
grossièrement parallèles aux deux ailes de l'attracteur. On peut aussi déceler une
croissance faible au démarrage des trajectoires à plusieurs orbes A, avec
une croissance brutale correspondant à la transition.
%
\begin{figure}[h!]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitFloV3Rd.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,angle=-90,clip=}
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitFloV3Rg.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,angle=-90,clip=}
		\caption{Vecteur dominant de Floquet de la séquence ABA en 3D.}
	\label{LKFitFloV}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[h!]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitFloV7Rd.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,angle=-90,clip=}
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitFloV7Rg.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,angle=-90,clip=}
		\caption{Vecteur dominant de Floquet de la séquence AAAABBA en 3D.).}
	\label{LKFitFloVz}
\end{figure}
%
%
\begin{figure}[h!]
	\centering
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitFloV9b.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,angle=-90,clip=}
		\psfig{figure=imagesnew/LKFitFloV4.eps,%
bbllx=50pt,bblly=50pt,bburx=550pt,bbury=768pt,width=5cm,height=5.5cm,angle=-90,clip=}
		\caption{Vecteurs de Floquet à 9 et 4 lettres.}
	\label{LKFitFloVx}
\end{figure}
%
\paragraph{Sur la symétrie} En plus de la symétrie évidente liées aux séquences
elles-mêmes symétriques, on observe une propriété particulièrement intéressante
avec déjà la composante BA~:
\begin{itemize}
\item le vecteur neutre ($\sigma=1$), la symétrie $x\rightarrow-x,y\rightarrow-y$
est conservée (cf Fig.~\ref{LKFitTraj2};
\item par contre, pour le vecteur dominant ($\sigma=4.7$), c'est au contraire
la symétrie $z\rightarrow-z$ qui est constatée (pas de Fig.);
\end{itemize}
%
Une recherche plus systématique s'impose donc, ouvrant là encore de vertigineuses
perspectives de compréhension intime de ce modèle particulièrement simple ...
\end{document}
%
\end

